Um compósito reforçado com fibras contínuas e alinhadas de vidro é composto por 40 \% em volume de fibras de vidro, com módulo de elasticidade de 69 GPa , e 60 \% \mathrm{em} volume de resina poliéster, que, quando endurecida, apresenta módulo de 3,4 \mathrm{GPa}.
(a) Calcule o módulo de elasticidade desse compósito na direção longitudinal.
(b) Se a área da seção transversal for de 250 \mathrm{~mm}^{2} e for aplicada uma tensão de 50 MPa nessa direção longitudinal, calcule a magnitude da carga suportada por cada fase (fibras e matriz).
(c) Determine a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.

Passo 1

Dados fornecidos e perguntas pedidas:
  • Fração volumétrica das fibras: V_f=0,40.
  • Fração volumétrica da matriz (resina): V_m=0,60.
  • Módulo das fibras: E_f=69\\ \mathrm{GPa}.
  • Módulo da matriz: E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}.
  • Área da seção transversal total: A=250\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Tensão aplicada na direção longitudinal: \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa}.
Perguntas:
(a) Calcular o módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal.
(b) Para \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa} e A=250\\ \mathrm{mm}^{2}, calcular a magnitude da carga suportada por cada fase (fibras e matriz).
(c) Determinar a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em tração longitudinal de um compósito com fibras contínuas e perfeitamente alinhadas na direção da carga, todas as fases deformam-se igualmente na direção da fibra (condição iso-deformação). Isso significa que a deformação longitudinal é a mesma para fibras e matriz:
\varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c.
  • A tensão em cada fase é dada por \sigma_i=E_i\varepsilon, onde E_i é o módulo da fase i e \varepsilon é a deformação comum.
  • O módulo efetivo do compósito na direção longitudinal segue a regra das misturas (rule of mixtures) sob iso-deformação:
E_c = V_f E_f + V_m E_m.
Aqui E_c é o módulo do compósito, V_f e V_m são as frações volumétricas (que, para seções constantes, também representam frações de área na seção transversal).
  • A tensão média no compósito é a média volumétrica (ponderada por V_i) das tensões das fases:
\sigma_c = V_f \sigma_f + V_m \sigma_m.
Com \sigma_i=E_i\varepsilon essa identidade é equivalente à fórmula do E_c acima.
  • A força em cada fase é a tensão dessa fase vezes a área ocupada por ela:
F_i = \sigma_i A_i,\qquad A_i = V_i A.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do problema.

Passo 3

Cálculo do módulo longitudinal do compósito (item a):
Usamos a regra das misturas:
E_c = V_f E_f + V_m E_m.
Substituindo os valores (atenção às unidades: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}, mas como todos os E estão em GPa podemos manter GPa):
E_c = 0{,}40\cdot 69 + 0{,}60\cdot 3{,}4.
Calcule cada termo:
0{,}40\cdot 69 = 27{,}6,
0{,}60\cdot 3{,}4 = 2{,}04.
Somando:
E_c = 27{,}6 + 2{,}04 = 29{,}64\\ \mathrm{GPa}.

Passo 4

Cálculo da força total aplicada e verificação de unidades (item b início):
A tensão aplicada é \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa} e a área total é A=250\\ \mathrm{mm}^{2}. A força total F é
F=\sigma_c A.
Como 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^{2}, temos
F = 50\\ \mathrm{N/mm}^{2}\cdot 250\\ \mathrm{mm}^{2} = 12500\\ \mathrm{N}=12{,}5\\ \mathrm{kN}.
Isso é só para referência; a pergunta pede a carga suportada por cada fase, que vamos obter usando áreas parciais e tensões das fases.

Passo 5

Cálculo da deformação comum \varepsilon do compósito (necessário para achar tensões nas fases):
Usamos a relação entre tensão do compósito, módulo efetivo e deformação:
\varepsilon = \frac{\sigma_c}{E_c}.
Converter E_c para as mesmas unidades de \sigma_c: E_c=29{,}64\\ \mathrm{GPa}=29640\\ \mathrm{MPa}. Então
\varepsilon = \frac{50}{29640}.
Fazendo a divisão:
\varepsilon \approx 0{,}0016863\quad(\text{adimensional}),
que em porcentagem é aproximadamente 0{,}16863\%.

Passo 6

Cálculo das tensões em cada fase (continuação item b e preparando item c):
Como \sigma_i=E_i\varepsilon, calculamos \sigma_f e \sigma_m.
Converter E para \mathrm{MPa}: E_f=69\\ \mathrm{GPa}=69000\\ \mathrm{MPa}, E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}=3400\\ \mathrm{MPa}.
Calcule:
\sigma_f = E_f \varepsilon = 69000\cdot 0{,}0016863 \approx 116{,}40\\ \mathrm{MPa},
\sigma_m = E_m \varepsilon = 3400\cdot 0{,}0016863 \approx 5{,}735\\ \mathrm{MPa}.
(Verificação rápida: 0{,}4\cdot 116{,}40 + 0{,}6\cdot 5{,}735 \approx 50\\ \mathrm{MPa}, compatível com \sigma_c.)

Passo 7

Cálculo das áreas parciais e das forças suportadas por cada fase (concluir item b):
As áreas ocupadas por cada fase são proporcionais às frações volumétricas:
A_f = V_f A = 0{,}40\cdot 250 = 100\\ \mathrm{mm}^{2},
A_m = V_m A = 0{,}60\cdot 250 = 150\\ \mathrm{mm}^{2}.
As forças são F_i=\sigma_i A_i:
F_f = \sigma_f A_f \approx 116{,}40\\ \mathrm{MPa}\cdot 100\\ \mathrm{mm}^{2} = 11640\\ \mathrm{N},
F_m = \sigma_m A_m \approx 5{,}735\\ \mathrm{MPa}\cdot 150\\ \mathrm{mm}^{2} \approx 860{,}3\\ \mathrm{N}.
Verificação: F_f+F_m \approx 11640 + 860{,}3 \approx 12500\\ \mathrm{N}, que é a força total calculada antes.

Passo 8

Resposta sobre as deformações de cada fase (item c):
Pelo argumento de iso-deformação, a deformação longitudinal é igual em fibras, matriz e compósito:
\varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c \approx 0{,}0016863.
Ou seja, ambas as fases sofrem a mesma deformação aproximadamente 0{,}0016863 (adimensional), equivalente a 0{,}16863\%.

Resposta

(a) E_c=29{,}64\\ \mathrm{GPa}
(b) F_f\approx 11640\\ \mathrm{N} e F_m\approx 860{,}3\\ \mathrm{N}
(c) \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon_c\approx 0{,}0016863 (≈ 0{,}16863\%)

Exercícios relacionados