Um compósito reforçado com fibras contínuas e alinhadas de vidro é composto por
em volume de fibras de vidro, com módulo de elasticidade de 69 GPa , e
volume de resina poliéster, que, quando endurecida, apresenta módulo de
.
(a) Calcule o módulo de elasticidade desse compósito na direção longitudinal.
(b) Se a área da seção transversal for de
e for aplicada uma tensão de 50 MPa nessa direção longitudinal, calcule a magnitude da carga suportada por cada fase (fibras e matriz).
(c) Determine a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.
(a) Calcule o módulo de elasticidade desse compósito na direção longitudinal.
(b) Se a área da seção transversal for de
(c) Determine a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.
Passo 1
Dados fornecidos e perguntas pedidas:
- Fração volumétrica das fibras:
. - Fração volumétrica da matriz (resina):
. - Módulo das fibras:
. - Módulo da matriz:
. - Área da seção transversal total:
. - Tensão aplicada na direção longitudinal:
.
Perguntas:
(a) Calcular o módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal.
(b) Para e
, calcular a magnitude da carga suportada por cada fase (fibras e matriz).
(c) Determinar a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.
(a) Calcular o módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal.
(b) Para
(c) Determinar a deformação sustentada por cada fase quando a tensão do item (b) for aplicada.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em tração longitudinal de um compósito com fibras contínuas e perfeitamente alinhadas na direção da carga, todas as fases deformam-se igualmente na direção da fibra (condição iso-deformação). Isso significa que a deformação longitudinal é a mesma para fibras e matriz:
- A tensão em cada fase é dada por
, onde é o módulo da fase e é a deformação comum. - O módulo efetivo do compósito na direção longitudinal segue a regra das misturas (rule of mixtures) sob iso-deformação:
Aqui
é o módulo do compósito,
e
são as frações volumétricas (que, para seções constantes, também representam frações de área na seção transversal).
- A tensão média no compósito é a média volumétrica (ponderada por
) das tensões das fases:
Com
essa identidade é equivalente à fórmula do
acima.
- A força em cada fase é a tensão dessa fase vezes a área ocupada por ela:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do problema.
Passo 3
Cálculo do módulo longitudinal do compósito (item a):
Usamos a regra das misturas:
Substituindo os valores (atenção às unidades:
, mas como todos os
estão em GPa podemos manter GPa):
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 4
Cálculo da força total aplicada e verificação de unidades (item b início):
A tensão aplicada é
e a área total é
. A força total
é
Como
, temos
Isso é só para referência; a pergunta pede a carga suportada por cada fase, que vamos obter usando áreas parciais e tensões das fases.
Passo 5
Cálculo da deformação comum
do compósito (necessário para achar tensões nas fases):
Usamos a relação entre tensão do compósito, módulo efetivo e deformação:
Converter
para as mesmas unidades de
:
. Então
Fazendo a divisão:
que em porcentagem é aproximadamente
.
Passo 6
Cálculo das tensões em cada fase (continuação item b e preparando item c):
Como
, calculamos
e
.
Converter
para
:
,
.
Calcule:
(Verificação rápida:
, compatível com
.)
Passo 7
Cálculo das áreas parciais e das forças suportadas por cada fase (concluir item b):
As áreas ocupadas por cada fase são proporcionais às frações volumétricas:
As forças são
:
Verificação:
, que é a força total calculada antes.
Passo 8
Resposta sobre as deformações de cada fase (item c):
Pelo argumento de iso-deformação, a deformação longitudinal é igual em fibras, matriz e compósito:
Ou seja, ambas as fases sofrem a mesma deformação aproximadamente
(adimensional), equivalente a
.
Resposta
(a)
(b) e
(c) (≈
)
(b)
(c)