Um compósito reforçado com fibras de vidro contínuas e alinhadas consiste em 40%vol de fibras de vidro com um módulo de elasticidade de 69 GPa e 60 % vol de uma resina poliéster que, quando endurecida, exibe um módulo de 3,4 GPa.
Determine a deformação que é suportada por cada fase quando a tensão na parte b é aplicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um compósito reforçado com fibras de vidro e resina poliéster. A gente sabe a porcentagem de volume de cada material e seus módulos de elasticidade. Nosso objetivo é descobrir qual é a deformação (ou seja, a mudança no comprimento) que cada parte do compósito suporta quando uma tensão é aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como as fibras e a matriz (resina) se comportam sob tensão e como isso afeta a deformação de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de elasticidade, representado por $ E E ãçãáã \sigma sigma çã \varepsilon $) é dada por:
varepsilon
Como a tensão é a mesma em ambas as fases do compósito (fibra e matriz), podemos usar essa equação para relacionar os módulos de elasticidade e as deformações de cada material.

Passo 3

Vamos chamar a deformação das fibras de $ \varepsilon_f $ e a da matriz de $ \varepsilon_m $. Como ambos os materiais estão ligados no compósito, eles precisam deformar-se da mesma maneira para manter o sistema coeso. Então, temos:
varepsilonf
Isso significa que a deformação é igual para fibra e matriz, mas os esforços (tensões) que cada um suporta vão depender de seus módulos de elasticidade.

Passo 4

Usando a equação da tensão, podemos expressar as tensões nas fibras ($ \sigma_f sigmaf \sigma_m $) como:
sigmam
sigmaf = Ef cdot varepsilon
Sabemos que a tensão total aplicada no compósito ($ \sigma_c $) é a soma das tensões nas fibras e na matriz ponderadas pelas suas frações de volume:
sigmam = Em cdot varepsilon
Onde:
  • $ V_f = 40% = 0,4 $ é a fração de volume das fibras,
  • $ V_m = 60% = 0,6 $ é a fração de volume da matriz.

Passo 5

Substituindo $ \sigma_f $ e $ \sigma_m $ na equação da tensão total, temos:
sigmaf
Fatorando $ \varepsilon $:
sigmam
Agora, isolamos $ \varepsilon $:
sigmac = Vf cdot Ef cdot varepsilon + Vm cdot Em cdot varepsilon

Passo 6

Vamos agora aplicar os valores fornecidos:
  • $ V_f = 0,4 $
  • $ E_f = 69 , GPa $
  • $ V_m = 0,6 $
  • $ E_m = 3,4 , GPa $
  • $ \sigma_c $ é a tensão aplicada na parte b (vou considerar como $ \sigma $ a tensão genérica, já que não foi especificado um valor numérico na questão).
Substituindo na equação:
Vf = 0,4
Calculando os valores:
Ef = 69 , GPa
Vm = 0,6
Em = 3,4 , GPa
Então:
sigmac

Passo 7

Agora, como a deformação é a mesma para fibra e matriz, mas queremos saber a contribuição de cada uma, podemos calcular individualmente:
Para as fibras:
varepsilonf = sigmaEf = sigma69
Para a matriz:
varepsilonm = sigmaEm = sigma3,4

Passo 8

Portanto, a deformação suportada por cada fase do compósito é:
  • Fibras de vidro: $ \varepsilon_f = \frac{\sigma}{69} $
  • Resina poliéster: $ \varepsilon_m = \frac{\sigma}{3,4} $

Resposta

A deformação suportada pelas fibras de vidro é $ \varepsilon_f = \dfrac{\sigma}{69} $ e pela resina poliéster é $ \varepsilon_m = \dfrac{\sigma}{3,4} $, onde $ \sigma $ é a tensão aplicada no compósito.

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