Um recipiente contém propano a 400 Ke com densidade de
. Sabendo que este recipiente se encontra à pressão de 400 bar, compare este valor com o previsto pelas equações de estado:
a) Gás ideal
b) Van der Walls
a) Gás ideal
b) Van der Walls
Passo 1
O enunciado dá um recipiente com propano nas seguintes condições (vou listar tudo direitinho):
O que se pede: comparar o valor experimental
com as previsões das equações de estado
a) gás ideal;
b) Van der Waals.
Nada mais será assumido — vou mostrar passo a passo as fórmulas, as unidades e os cálculos.
a) gás ideal;
b) Van der Waals.
Nada mais será assumido — vou mostrar passo a passo as fórmulas, as unidades e os cálculos.
Passo 2
Gás ideal: ideia e fórmula usada.
A equação dos gases ideais, na forma que usa densidade molar , é
A equação dos gases ideais, na forma que usa densidade molar
Explicando:
é a concentração molar (mol por litro aqui),
é a constante dos gases e
é a temperatura em kelvin. Vou escolher
numa unidade compatível com
em
e
em bar:
Substituindo os valores dados:
Agora faço as contas passo a passo:
Portanto
Comparação rápida: o gás ideal prevê cerca de
, que é menor que o experimental
. A diferença relativa é
Passo 3
Van der Waals: fórmula e significado dos parâmetros.
A equação de Van der Waals, em termos de densidade molar , pode ser escrita como
A equação de Van der Waals, em termos de densidade molar
Explicando os parâmetros:
-
mede a atração intermolecular (unidade: aqui); -
é o “volume excluído” por mol (unidade: );
ambos dependem da substância (no caso, propano). Uma forma prática de obtere é usar as constantes críticas por meio das relações da vdW:
Para o propano uso os valores críticos (valores tabulados):
Agora calculo
e
com
.
Passo 4
Cálculo de
:
Passo a passo:
Passo 5
Cálculo de
:
Primeiro
:
Agora
Passo 6
Agora aplico a fórmula de Van der Waals com
,
,
,
e
:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Logo
(muito pequeno — atenção, isso indica que o volume molar está muito próximo de
: o termo repulsivo torna-se enorme).
Calcule
(já fizemos para o gás ideal):
Agora o primeiro termo:
O segundo termo é
:
Subtraindo:
Para ficar em notação compacta:
Passo 7
Interpretação física e comparação final:
- Gás ideal prevê
, isto é cerca de menor que os medidos — o modelo ideal subestima a pressão, mas não por uma quantidade gigantesca. - Van der Waals prevê
, ou seja aproximadamente vezes o valor experimental (aumento de ). Isso é um superestimamento enorme. A razão: neste estado o volume molar é muito próximo de (o volume excluído), então o denominador fica muito pequeno e o termo repulsivo explod e o modelo vdW dá pressões absurdas. Na prática, Van der Waals é simples e qualitativamente captura algumas correções, mas falha numericamente quando a densidade é tão alta (região próxima ao líquido/condensação); modelos mais sofisticados ou dados experimentais são necessários.
Resposta
a)
(≈11{,}7% menor que
).
b) (muito maior que
; ≈19{,}9 vezes maior).
b)