Um recipiente contém propano a 400 Ke com densidade de 10,62 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3}. Sabendo que este recipiente se encontra à pressão de 400 bar, compare este valor com o previsto pelas equações de estado:
a) Gás ideal
b) Van der Walls

Passo 1

O enunciado dá um recipiente com propano nas seguintes condições (vou listar tudo direitinho):
T=400\\ \text{K},
\text{densidade molar } \rho = 10{,}62\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}} \quad(\text{isto é }10{,}62\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}),é
p_{\text{exp}}=400\\ \text{bar}.
O que se pede: comparar o valor experimental 400\\ \text{bar} com as previsões das equações de estado
a) gás ideal;
b) Van der Waals.
Nada mais será assumido — vou mostrar passo a passo as fórmulas, as unidades e os cálculos.

Passo 2

Gás ideal: ideia e fórmula usada.
A equação dos gases ideais, na forma que usa densidade molar \rho=n/V, é
p=\rho R T.
Explicando: \rho é a concentração molar (mol por litro aqui), R é a constante dos gases e T é a temperatura em kelvin. Vou escolher R numa unidade compatível com \rho em \mathrm{mol\;L^{-1}} e p em bar:
R=0{,}08314\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Substituindo os valores dados:
p_{\text{ideal}}=\rho R T = 10{,}62\cdot 0{,}08314\cdot 400.
Agora faço as contas passo a passo:
0{,}08314\cdot 400 = 33{,}256,
33{,}256\cdot 10{,}62 = 353{,}1687.
Portanto
p_{\text{ideal}}\approx 353{,}17\\ \text{bar}.
Comparação rápida: o gás ideal prevê cerca de 353{,}2\\ \text{bar}, que é menor que o experimental 400\\ \text{bar}. A diferença relativa é
\frac{400-353{,}17}{400}\approx 0{,}117 \quad\text{(≈ }11{,}7\%\text{ a menos)}.

Passo 3

Van der Waals: fórmula e significado dos parâmetros.
A equação de Van der Waals, em termos de densidade molar \rho=n/V, pode ser escrita como
p=\frac{\rho R T}{1-b\rho}-a\rho^{2}.
Explicando os parâmetros:
  • a mede a atração intermolecular (unidade: \mathrm{L^{2}\;bar\;mol^{-2}} aqui);
  • b é o “volume excluído” por mol (unidade: \mathrm{L\;mol^{-1}});
    ambos dependem da substância (no caso, propano). Uma forma prática de obter a e b é usar as constantes críticas por meio das relações da vdW:
a=\frac{27R^{2}T_{c}^{2}}{64P_{c}},\qquad b=\frac{R T_{c}}{8P_{c}}.
Para o propano uso os valores críticos (valores tabulados):
T_{c}=369{,}8\\ \text{K},\qquad P_{c}=42{,}48\\ \text{bar}.
Agora calculo b e a com R=0{,}08314\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 4

Cálculo de b:
b=\frac{R T_{c}}{8P_{c}}=\frac{0{,}08314\cdot 369{,}8}{8\cdot 42{,}48}.
Passo a passo:
0{,}08314\cdot 369{,}8 \approx 30{,}7452,
8\cdot 42{,}48 = 339{,}84,
b\approx \frac{30{,}7452}{339{,}84}\approx 0{,}09047\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 5

Cálculo de a:
a=\frac{27R^{2}T_{c}^{2}}{64P_{c}}.
Primeiro R^{2}T_{c}^{2}:
R^{2}=0{,}08314^{2}\approx 0{,}00691226,\qquad T_{c}^{2}=369{,}8^{2}\approx 136{,}752{,}04,
R^{2}T_{c}^{2}\approx 945{,}2656.
Agora
\frac{27}{64}\approx 0{,}421875,\qquad \frac{27R^{2}T_{c}^{2}}{64}\approx 945{,}2656\cdot 0{,}421875\approx 398{,}7839,
a\approx \frac{398{,}7839}{42{,}48}\approx 9{,}387\\ \mathrm{L^{2}\;bar\;mol^{-2}}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de Van der Waals com \rho=10{,}62\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, R, T, a e b:
Primeiro calcule b\rho:
b\rho = 0{,}09047\cdot 10{,}62 \approx 0{,}96079.
Logo 1-b\rho\approx 0{,}03921 (muito pequeno — atenção, isso indica que o volume molar está muito próximo de b: o termo repulsivo torna-se enorme).
Calcule \rho R T (já fizemos para o gás ideal):
\rho R T = 10{,}62\cdot 0{,}08314\cdot 400 \approx 353{,}17\\ \text{bar}.
Agora o primeiro termo:
\frac{\rho R T}{1-b\rho}\approx \frac{353{,}17}{0{,}0392086}\approx 9{,}003{,}7\\ \text{bar}.
O segundo termo é a\rho^{2}:
\rho^{2}=(10{,}62)^{2}=112{,}7844,
a\rho^{2}\approx 9{,}387\cdot 112{,}7844\approx 1{,}058{,}70\\ \text{bar}.
Subtraindo:
p_{\text{vdW}}=\frac{\rho R T}{1-b\rho}-a\rho^{2}\approx 9{,}003{,}7-1{,}058{,}7\approx 7{,}945{,}0\\ \text{bar}.
Para ficar em notação compacta:
p_{\text{vdW}}\approx 7{,}95\times 10^{3}\\ \text{bar}.

Passo 7

Interpretação física e comparação final:
  • Gás ideal prevê p_{\text{ideal}}\approx 353{,}2\\ \text{bar}, isto é cerca de 11{,}7\% menor que os 400\\ \text{bar} medidos — o modelo ideal subestima a pressão, mas não por uma quantidade gigantesca.
  • Van der Waals prevê p_{\text{vdW}}\approx 7{,}95\times 10^{3}\\ \text{bar}, ou seja aproximadamente 19{,}9 vezes o valor experimental (aumento de \approx 1{,}886\times 10^{2}\%). Isso é um superestimamento enorme. A razão: neste estado o volume molar v=1/\rho é muito próximo de b (o volume excluído), então o denominador 1-b\rho fica muito pequeno e o termo repulsivo explod e o modelo vdW dá pressões absurdas. Na prática, Van der Waals é simples e qualitativamente captura algumas correções, mas falha numericamente quando a densidade é tão alta (região próxima ao líquido/condensação); modelos mais sofisticados ou dados experimentais são necessários.

Resposta

a) p_{\text{ideal}}\approx 353{,}17\\ \text{bar} (≈11{,}7% menor que 400\\ \text{bar}).
b) p_{\text{vdW}}\approx 7{,}95\times 10^{3}\\ \text{bar} (muito maior que 400\\ \text{bar}; ≈19{,}9 vezes maior).

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