Ar é comprimido reversivelmente seguindo um processo politrópico representado por:
A) Deduza uma expressão para o trabalho realizado durante o processo de compressão baseado nos estados inicial e final do sistema. Assuma que o ar é um gás ideal (
).
B) Se
de ar inicialmente a 150 kPa e
é comprimido em um processo reversível com
e se o trabalho de compressão for
, determine o estado final do ar no cilindro.
A) Deduza uma expressão para o trabalho realizado durante o processo de compressão baseado nos estados inicial e final do sistema. Assuma que o ar é um gás ideal (
B) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (A) Deduza uma expressão para o trabalho realizado durante um processo politrópico reversível entre os estados inicial e final do sistema, assumindo gás ideal (
). - (B) Para
de ar inicialmente em e , comprimido reversivelmente com e sabendo que o trabalho de compressão foi , determine o estado final do ar no cilindro.
Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
- Massa:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Exponente politrópico:
. - Trabalho de compressão (energia entregue ao gás):
. - Constante gasosa do ar (usada aqui):
.
O que se espera obter no item (B): o estado final completo — pelo menos pressão
, volume
e temperatura
finais do ar.
Passo 2
Conceitos principais e início da dedução (item A), com explicações didáticas:
- Num processo politrópico reversível vale a relação
Isso significa que existe uma constante
tal que
para todo o processo. Essa é a definição do processo politrópico.
- Trabalho realizado pelo sistema (convenção padrão): o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de
a é
Se o gás for comprimido (
), esse integral será negativo (o sistema realiza trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás). Muitas vezes o enunciado usa “trabalho de compressão” para indicar a energia entrante no gás; nesse caso é
. Vou manter claramente essas convenções ao aplicar os sinais.
- Usando a lei politrópica, escrevemos
. Como (ou ), podemos integrar em função de .
Passo 3
Dedução do trabalho para
(continuação do item A), com a integral passo a passo:
- Escrevendo
e integrando,
- Integrando
(lembrando que ):
- Substituindo os limites:
- Agora observamos que
e . Substituindo,
Esta é uma forma muito útil: o trabalho realizado pelo gás em um processo politrópico entre estados 1 e 2 (com
) é
- Observação sobre sinal: se o enunciado dá o “trabalho de compressão” como uma quantidade positiva
, então isso representa . Em outras palavras, .
Passo 4
Caso especial
(breve comentário didático):
- Quando
o processo é isotérmico e a integral anterior não vale (porque dividir por dá divisão por zero). Para temos conste e
- Usando
isso pode ser reescrito como .
Passo 5
Preparação para o item (B): interpretar corretamente o enunciado e escolher equações a usar.
- O enunciado diz "o trabalho de compressão for
". Isso é o trabalho entregue ao gás, portanto é o trabalho sobre o gás: . - Consequentemente,
- Usaremos a fórmula deduzida:
e a equação do gás ideal para ligar
com
:
Com essas duas equações podemos encontrar
,
,
, e — usando também
— obter
e
separadamente.
Passo 6
Cálculo do volume inicial
a partir do gás ideal:
Substituindo os valores (tudo em SI):
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Nota:
.
Passo 7
Determinar
usando a expressão do trabalho:
A partir de
A partir de
isolamos
:
Substituindo números:
,
e
:
Logo
Para facilitar, arredondamos nas etapas finais:
Passo 8
Determinar a temperatura final
diretamente a partir de
e da equação do gás ideal:
Substituindo:
Calculando:
Convertendo para Celsius:
Arredondando com sensatez:
Passo 9
Determinar
usando a relação politrópica
.
- Reescrevendo:
Como já calculamos
, podemos obter
por
Calculemos passo a passo:
- Primeiro
. Com ,
- Então
- Já temos
. - Assim
- Elevando ambos os lados à potência
(ou seja, ):
Passo 10
Determinar
a partir de
e
:
Em unidades mais usuais,
Passo 11
Interpretação e checagem rápida (sanity check):
- O volume diminuiu de
para — isso é consistente com compressão. - A pressão aumentou de
para — também consistente. - A temperatura aumentou de
para — aquecimento esperado em compressão politrópica com . - Os sinais do trabalho batem: trabalho de compressão
foi entregue ao gás (positivo como trabalho sobre o gás), e o trabalho pelo gás foi .