Ar é comprimido reversivelmente seguindo um processo politrópico representado por:
A) Deduza uma expressão para o trabalho realizado durante o processo de compressão baseado nos estados inicial e final do sistema. Assuma que o ar é um gás ideal ( P V=m R T ).
B) Se 2,5 \mathrm{~kg} de ar inicialmente a 150 kPa e 30^{\circ} \mathrm{C} é comprimido em um processo reversível com n=1,3 e se o trabalho de compressão for 150 k J, determine o estado final do ar no cilindro.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (A) Deduza uma expressão para o trabalho realizado durante um processo politrópico reversível entre os estados inicial e final do sistema, assumindo gás ideal ( P V = m R T).
  • (B) Para m=2{,}5\\ \mathrm{kg} de ar inicialmente em P_1 = 150\\ \mathrm{kPa} e T_1 = 30^\circ\mathrm{C}, comprimido reversivelmente com n=1{,}3 e sabendo que o trabalho de compressão foi 150\\ \mathrm{kJ}, determine o estado final do ar no cilindro.
Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
  • Massa: m = 2{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão inicial: P_1 = 150\\ \mathrm{kPa} = 150{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Exponente politrópico: n = 1{,}3.
  • Trabalho de compressão (energia entregue ao gás): W_{\text{comp}} = 150\\ \mathrm{kJ} = 150{,}000\\ \mathrm{J}.
  • Constante gasosa do ar (usada aqui): R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que se espera obter no item (B): o estado final completo — pelo menos pressão P_2, volume V_2 e temperatura T_2 finais do ar.

Passo 2

Conceitos principais e início da dedução (item A), com explicações didáticas:
  • Num processo politrópico reversível vale a relação
P V^{n}=\text{conste.}
Isso significa que existe uma constante C tal que P V^{n}=C para todo o processo. Essa é a definição do processo politrópico.
  • Trabalho realizado pelo sistema (convenção padrão): o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de V_1 a V_2 é
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,\mathrm{d}V.
Se o gás for comprimido ( V_2<V_1), esse integral será negativo (o sistema realiza trabalho negativo, isto é, trabalho é feito sobre o gás). Muitas vezes o enunciado usa “trabalho de compressão” para indicar a energia entrante no gás; nesse caso é W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}. Vou manter claramente essas convenções ao aplicar os sinais.
  • Usando a lei politrópica, escrevemos P=C V^{-n}. Como C=P_{1}V_{1}^{n} (ou =P_{2}V_{2}^{n}), podemos integrar P em função de V.

Passo 3

Dedução do trabalho para n\neq 1 (continuação do item A), com a integral passo a passo:
  • Escrevendo P = P_1 V_1^n V^{-n} e integrando,
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,\mathrm{d}V = P_{1}V_{1}^{n}\int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-n}\,\mathrm{d}V.
  • Integrando V^{-n} (lembrando que n\neq 1):
\int V^{-n}\,\mathrm{d}V = \frac{V^{1-n}}{1-n}.
  • Substituindo os limites:
W_{\text{by}}=P_{1}V_{1}^{n}\left[\frac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{P_{1}V_{1}^{n}}{1-n}\left(V_{2}^{1-n}-V_{1}^{1-n}\right).
  • Agora observamos que P_{2}V_{2}=P_{1}V_{1}^{n}V_{2}^{1-n} e P_{1}V_{1}=P_{1}V_{1}^{n}V_{1}^{1-n}. Substituindo,
W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
Esta é uma forma muito útil: o trabalho realizado pelo gás em um processo politrópico entre estados 1 e 2 (com n\neq 1) é
\boxed{\,W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}\,.}
  • Observação sobre sinal: se o enunciado dá o “trabalho de compressão” como uma quantidade positiva W_{\text{comp}}, então isso representa W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}. Em outras palavras, W_{\text{by}}=-W_{\text{comp}}.

Passo 4

Caso especial n=1 (breve comentário didático):
  • Quando n=1 o processo é isotérmico e a integral anterior não vale (porque dividir por 1-n dá divisão por zero). Para n=1 temos P V= conste e
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{P_{1}V_{1}}{V}\,\mathrm{d}V = P_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
  • Usando P_{1}V_{1}=mRT isso pode ser reescrito como W_{\text{by}}=mRT\ln(V_{2}/V_{1}).

Passo 5

Preparação para o item (B): interpretar corretamente o enunciado e escolher equações a usar.
  • O enunciado diz "o trabalho de compressão for 150\\ \mathrm{kJ}". Isso é o trabalho entregue ao gás, portanto é o trabalho sobre o gás: W_{\text{on}}=150{,}000\\ \mathrm{J}.
  • Consequentemente,
W_{\text{by}} = -\,W_{\text{on}} = -150{,}000\\ \mathrm{J}.
  • Usaremos a fórmula deduzida:
W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n},
e a equação do gás ideal para ligar P V com T:
P V = m R T.
Com essas duas equações podemos encontrar V_1, P_2V_2, T_2, e — usando também P_1V_1^{n}=P_2V_2^{n} — obter V_2 e P_2 separadamente.

Passo 6

Cálculo do volume inicial V_1 a partir do gás ideal:
V_{1}=\frac{m R T_{1}}{P_{1}}.
Substituindo os valores (tudo em SI):
V_{1}=\frac{2{,}5\cdot 287\cdot 303{,}15}{150{,}000}.
Faço as contas passo a passo:
287\cdot 303{,}15 = 87\,004{,}05,
2{,}5\cdot 87\,004{,}05 = 217\,510{,}125,
V_{1}=\frac{217\,510{,}125}{150{,}000}=1{,}4500675\\ \mathrm{m^{3}}.
Portanto
V_{1}\approx 1{,}45007\\ \mathrm{m^{3}}.
Nota: P_{1}V_{1}=mRT_{1}=217\,510{,}125\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Determinar P_{2}V_{2} usando a expressão do trabalho:
A partir de
W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n},
isolamos P_{2}V_{2}:
P_{2}V_{2}=P_{1}V_{1}+(1-n)W_{\text{by}}.
Substituindo números: P_{1}V_{1}=217\,510{,}125\\ \mathrm{J}, 1-n=1-1{,}3=-0{,}3 e W_{\text{by}}=-150{,}000\\ \mathrm{J}:
(1-n)W_{\text{by}} = -0{,}3 \times (-150{,}000) = 45{,}000\\ \mathrm{J}.
Logo
P_{2}V_{2} = 217\,510{,}125 + 45{,}000 = 262\,510{,}125\\ \mathrm{J}.
Para facilitar, arredondamos nas etapas finais:
P_{2}V_{2}\approx 262\,510{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.

Passo 8

Determinar a temperatura final T_{2} diretamente a partir de P_{2}V_{2} e da equação do gás ideal:
T_{2}=\frac{P_{2}V_{2}}{mR}.
Substituindo:
T_{2}=\frac{262\,510{,}125}{2{,}5\cdot 287}=\frac{262\,510{,}125}{717{,}5}\\ \mathrm{K}.
Calculando:
T_{2}\approx 365{,}8675\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_{2}\approx 365{,}8675 - 273{,}15 = 92{,}7175^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com sensatez:
T_{2}\approx 365{,}87\\ \mathrm{K}\approx 92{,}72^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Determinar V_{2} usando a relação politrópica P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n}.
  • Reescrevendo:
V_{2}^{\,n-1}=\frac{P_{1}V_{1}^{n}}{P_{2}V_{2}}.
Como já calculamos P_{2}V_{2}, podemos obter V_{2} por
V_{2}=\left(\frac{P_{1}V_{1}^{n}}{P_{2}V_{2}}\right)^{\!\tfrac{1}{\,n-1}}.
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro V_{1}^{n}=V_{1}^{1{,}3}. Com V_{1}\approx 1{,}4500675,
V_{1}^{1{,}3}\approx 1{,}6197.
  • Então P_{1}V_{1}^{n}=150{,}000\times 1{,}6197\approx 242\,955\\ \mathrm{(unidades\\ J)}.
  • Já temos P_{2}V_{2}\approx 262\,510{,}125.
  • Assim
V_{2}^{\,0{,}3}=\frac{242\,955}{262\,510{,}125}\approx 0{,}9253.
  • Elevando ambos os lados à potência 1/0{,}3 (ou seja, 3{,}333\ldots):
V_{2}\approx 0{,}9253^{\,3{,}3333}\approx 0{,}772\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 10

Determinar P_{2} a partir de P_{2}V_{2} e V_{2}:
P_{2}=\frac{P_{2}V_{2}}{V_{2}}=\frac{262\,510{,}125}{0{,}772}\\ \mathrm{Pa}\approx 340{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais,
P_{2}\approx 340{,}000\\ \mathrm{Pa}=340\\ \mathrm{kPa}.

Passo 11

Interpretação e checagem rápida (sanity check):
  • O volume diminuiu de 1{,}450\\ \mathrm{m^{3}} para 0{,}772\\ \mathrm{m^{3}} — isso é consistente com compressão.
  • A pressão aumentou de 150\\ \mathrm{kPa} para 340\\ \mathrm{kPa} — também consistente.
  • A temperatura aumentou de 30^\circ\mathrm{C} para \approx 92{,}7^\circ\mathrm{C} — aquecimento esperado em compressão politrópica com n>1.
  • Os sinais do trabalho batem: trabalho de compressão 150\\ \mathrm{kJ} foi entregue ao gás (positivo como trabalho sobre o gás), e o trabalho pelo gás foi W_{\text{by}}=-150\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

P_{2}=340\\ \mathrm{kPa}
V_{2}=0{,}772\\ \mathrm{m^{3}}
T_{2}=365{,}87\\ \mathrm{K}\approx 92{,}72^\circ\mathrm{C}

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