Um mol de um gás ideal em uma temperatura de 500 K e uma pressão de 6 atm é sujeito ao seguinte ciclo:
Passo 1: O gás é expandido isotermicamente e reversivelmente até \mathrm{Pf}=5 \mathrm{~atm}.
Passo 2: O gás é expandido adiabaticamente e reversivelmente até \mathrm{Pf}=4 \mathrm{~atm}.
Passo 3: O gás é comprimido isotermicamente e reversivelmente até \mathrm{Pf}=4,8 atm .
Passo 4: O gás é comprimido em Q=0 e reversivelmente até P f=6 \mathrm{~atm}. A temperatura do gás atinge 500 K .
A capacidade calorífica é \mathrm{Cv}, \mathrm{m}=1,5 \mathrm{R}
a. Faça o gráfico do processo
b. No passo 2, Calcule TeV
c. Calcule \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{H} para cada passo e para o ciclo total.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade de gás: n=1 mol.
    • Temperatura inicial: T_A=500\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial: P_A=6\\ \mathrm{atm}.
    • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_{V,m}=1{,}5\,R.
    • Passos do ciclo:
      1. Passo 1: expansão isotérmica e reversível de P=6\\ \mathrm{atm} até P_f=5\\ \mathrm{atm}.
      2. Passo 2: expansão adiabática e reversível de P=5\\ \mathrm{atm} até P_f=4\\ \mathrm{atm}.
      3. Passo 3: compressão isotérmica e reversível de P=4\\ \mathrm{atm} até P_f=4{,}8\\ \mathrm{atm}.
      4. Passo 4: compressão adiabática e reversível (com Q=0) até P_f=6\\ \mathrm{atm}; a temperatura final volta a 500\\ \mathrm{K}.
    • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
    • Conversão de pressão: 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Fazer o gráfico do processo (esboço do diagrama P\times V com os pontos e curvas).
    (b) No passo 2, calcular T e V finais desse passo (ou seja, a temperatura e volume após a expansão adiabática até 4\\ \mathrm{atm}).
    (c) Calcular para cada passo (1 a 4) e para o ciclo total: Q, W, \Delta U, \Delta H.

Passo 2

Relembre e escreva as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e o que cada símbolo significa).
  • Lei dos gases ideais (para uma mol): PV = nRT, onde P é a pressão (em \mathrm{Pa}), V o volume (em \mathrm{m^3}), n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura em \mathrm{K}.
  • Para um processo isotérmico reversível (temperatura constante \,T= constante):
    • Trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho na expansão): W_{\text{iso}} = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
    • Para gás ideal isotérmico: \Delta U=0 e \Delta H=0. Portanto Q = W_{\text{iso}}.
    • Observação prática: como PV=nRT com T constante, \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{P_i}{P_f} (pois V\propto 1/P na isotérmica).
  • Para um processo adiabático reversível (sem troca de calor, Q=0) de gás ideal:
    • Define-se \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}.
    • Relações úteis: P V^{\gamma}=\text{constante},\qquad T V^{\gamma-1}=\text{constante},\qquad \text{e}\qquad \frac{T_f}{T_i}=\left(\frac{P_f}{P_i}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
    • Energia interna para gás ideal (variação molar): \Delta U = n C_{V,m}\,\Delta T.
    • Entalpia molar: C_{P,m}=C_{V,m}+R, então \Delta H = n C_{P,m}\,\Delta T.
    • Pela primeira lei: \Delta U = Q - W. Com Q=0 fica \Delta U = -W, ou W = -\Delta U. Lembre que W>0 significa trabalho realizado pelo gás; para compressão o W costuma ficar negativo (trabalho feito no sistema).

Passo 3

Cálculo dos volumes e condições nos pontos importantes (usar a lei dos gases ideais). Vou nomear os estados:
  • Estado A: início (antes do passo 1): P_A=6\\ \mathrm{atm}, T_A=500\\ \mathrm{K}.
  • Estado B: após passo 1 (isotérmico): P_B=5\\ \mathrm{atm}, T_B=500\\ \mathrm{K}.
  • Estado C: após passo 2 (adiabático): P_C=4\\ \mathrm{atm}, T_C=\\ ?, V_C=\\ ?.
  • Estado D: após passo 3 (isotérmico): P_D=4{,}8\\ \mathrm{atm}, T_D=T_C.
  • Estado E: após passo 4: volta a P_E=6\\ \mathrm{atm} e T_E=500\\ \mathrm{K} (estado final = estado A, ciclo fechado).
Converter pressões para Pascal quando for calcular volumes e trabalho quantitativo:
P_A=6\cdot101325=607950\\ \mathrm{Pa},\qquad P_B=5\cdot101325=506625\\ \mathrm{Pa},
P_C=4\cdot101325=405300\\ \mathrm{Pa},\qquad P_D=4{,}8\cdot101325=486360\\ \mathrm{Pa}.
Calcule o volume inicial V_A usando V_A=\dfrac{nRT_A}{P_A}:
V_A=\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 500}{607950}\\ \mathrm{m^3} =\frac{4157}{607950}\\ \mathrm{m^3} \approx 0{,}006839\\ \mathrm{m^3}.
Volume em B (isotérmico, mesma T):
V_B=\frac{nRT_B}{P_B}=\frac{4157}{506625}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}008205\\ \mathrm{m^3}.
Observação: V_B/V_A = P_A/P_B = 6/5 = 1{,}2, consistente.

Passo 4

Passo 1 — expansão isotérmica A\to B:
  • Fórmulas aplicáveis: W_1 = nRT_A\ln\!\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right), Q_1=W_1, \Delta U_1=0, \Delta H_1=0.
  • Como \dfrac{V_B}{V_A}=\dfrac{P_A}{P_B}=\dfrac{6}{5}:
W_1 = 1\cdot 8{,}314\cdot 500\cdot \ln\!\left(\frac{6}{5}\right) =4157\cdot \ln(1{,}2).
Calcule numericamente:
\ln(1{,}2)\approx 0{,}1823216\quad\Rightarrow\quad W_1\approx 4157\cdot 0{,}1823216\approx 757{,}9\\ \mathrm{J}.
Portanto:
Q_1\approx +757{,}9\\ \mathrm{J},\qquad W_1\approx +757{,}9\\ \mathrm{J},\qquad \Delta U_1=0,\qquad \Delta H_1=0.

Passo 5

Passo 2 — expansão adiabática reversível B\to C:
  • Primeiro obtenha \gamma. Dado C_{V,m}=1{,}5\,R então
C_{P,m}=C_{V,m}+R = 1{,}5\,R + R = 2{,}5\,R, \qquad \gamma=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}=\frac{2{,}5\,R}{1{,}5\,R}=\frac{5}{3}\approx 1{,}6667.
  • Relação temperatura-pressão para adiabático reversível:
\frac{T_C}{T_B}=\left(\frac{P_C}{P_B}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Substituindo valores:
\frac{T_C}{500}=\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{5/3-1}{5/3}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2/3}{5/3}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2}{5}}.
Calcule:
\left(\frac{4}{5}\right)^{0{,}4} \approx 0{,}914644\quad\Rightarrow\quad T_C \approx 500\cdot 0{,}914644 \approx 457{,}3\\ \mathrm{K}.
Agora o volume V_C por V_C = \dfrac{nRT_C}{P_C}:
V_C=\frac{8{,}314\cdot 457{,}3}{405300}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}009386\\ \mathrm{m^3}.
  • Como é adiabático e reversível, Q_2=0.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_2 = n C_{V,m}(T_C-T_B)=1\cdot (1{,}5R)\cdot(457{,}3-500).
Com 1{,}5R = 1{,}5\cdot 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}}:
\Delta U_2 \approx 12{,}471\cdot(-42{,}7)\approx -532{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho feito pelo gás (pela primeira lei \Delta U = Q - W com Q=0):
W_2 = -\Delta U_2 \approx +532{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
C_{P,m}=2{,}5R=20{,}785\\ \mathrm{J\,K^{-1}},\qquad \Delta H_2 = n C_{P,m}(T_C-T_B)\approx 20{,}785\cdot(-42{,}7)\approx -887{,}5\\ \mathrm{J}.
Resumo do passo 2:
T_C\approx 457{,}3\\ \mathrm{K},\qquad V_C\approx 0{,}009386\\ \mathrm{m^3},
Q_2=0,\quad W_2\approx +532{,}1\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_2\approx -532{,}1\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_2\approx -887{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Passo 3 — compressão isotérmica C\to D (à temperatura T_C):
  • Temperatura constante: T_D=T_C\approx 457{,}3\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final P_D=4{,}8\\ \mathrm{atm}\Rightarrow P_D=486360\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume final V_D=\dfrac{nRT_C}{P_D}:
V_D=\frac{8{,}314\cdot 457{,}3}{486360}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}007823\\ \mathrm{m^3}.
(ou usar V_D=V_C\cdot \dfrac{P_C}{P_D}=\;0{,}009386\cdot\dfrac{4}{4{,}8}\approx 0{,}007823.)
  • Trabalho isotérmico (o sinal virá negativo porque é compressão — trabalho sobre o gás):
W_3 = n R T_C \ln\!\left(\frac{V_D}{V_C}\right) = n R T_C \ln\!\left(\frac{P_C}{P_D}\right).
Como \dfrac{P_C}{P_D}=\dfrac{4}{4{,}8}=\dfrac{5}{6}:
\ln\!\left(\frac{5}{6}\right)= -0{,}1823216\quad\Rightarrow\quad W_3 \approx 8{,}314\cdot 457{,}3\cdot(-0{,}1823216)\approx -693{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Para isotérmico ideal: \Delta U_3=0 e \Delta H_3=0, então Q_3 = W_3 \approx -693{,}3\\ \mathrm{J}.
Resumo do passo 3:
Q_3\approx -693{,}3\\ \mathrm{J},\quad W_3\approx -693{,}3\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_3=0,\quad \Delta H_3=0.

Passo 7

Passo 4 — compressão adiabática reversível D\to E com Q_4=0 e temperatura final T_E=500\\ \mathrm{K}:
  • Como dado, o processo é adiabático e reversível com Q_4=0 e leva a pressão final P_E=6\\ \mathrm{atm} e T_E=500\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura: \Delta T_4 = T_E - T_D = 500 - 457{,}3 = +42{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_4 = n C_{V,m}\Delta T_4 = 12{,}471\cdot 42{,}7 \approx +532{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Como Q_4=0, pela primeira lei W_4 = -\Delta U_4 \approx -532{,}1\\ \mathrm{J} (trabalho negativo: trabalho realizado sobre o gás).
  • Variação de entalpia:
\Delta H_4 = n C_{P,m}\Delta T_4 = 20{,}785\cdot 42{,}7 \approx +887{,}5\\ \mathrm{J}.
Resumo do passo 4:
Q_4=0,\quad W_4\approx -532{,}1\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_4\approx +532{,}1\\ \mathrm{J},\quad \Delta H_4\approx +887{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Soma sobre o ciclo (verificação de consistência):
  • Soma das variações de energia interna:
\sum \Delta U = \Delta U_1+\Delta U_2+\Delta U_3+\Delta U_4 = 0 + (-532{,}1) + 0 + (+532{,}1) = 0,
como esperado para um ciclo fechado.
  • Soma das variações de entalpia:
\sum \Delta H = 0 + (-887{,}5)+0+(+887{,}5)=0.
  • Soma do calor trocado:
Q_{\text{total}} = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4 \approx 757{,}9 + 0 - 693{,}3 + 0 \approx 64{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Soma do trabalho realizado pelo gás:
W_{\text{total}} = W_1+W_2+W_3+W_4 \approx 757{,}9 + 532{,}1 - 693{,}3 - 532{,}1 \approx 64{,}6\\ \mathrm{J}.
Observação: Q_{\text{total}}=W_{\text{total}} e \sum\Delta U=0 como exige a primeira lei para um ciclo.

Passo 9

Esboço do gráfico P\times V (instruções para desenhar, o que marcar e o formato das curvas):
  • Pontos a marcar (em unidades úteis):
    • A:\\ P_A=6\\ \mathrm{atm},\\ V_A\approx 0{,}006839\\ \mathrm{m^3}.
    • B:\\ P_B=5\\ \mathrm{atm},\\ V_B\approx 0{,}008205\\ \mathrm{m^3}.
    • C:\\ P_C=4\\ \mathrm{atm},\\ V_C\approx 0{,}009386\\ \mathrm{m^3}.
    • D:\\ P_D=4{,}8\\ \mathrm{atm},\\ V_D\approx 0{,}007823\\ \mathrm{m^3}.
    • Retorno a A (ou E) com P=6\\ \mathrm{atm} e V=V_A.
  • Como desenhar:
    • No diagrama P vertical (em atm) e V horizontal (em \mathrm{m^3} ou em litros), marque os volumes e pressões acima.
    • Traçar do ponto A para B uma curva isotérmica (hipérbole suave) à temperatura 500\\ \mathrm{K}, do tipo PV= const.
    • De B para C traçar uma curva adiabática (mais inclinada/mais “íngreme” que a isotérmica) que conecta P=5 a P=4 passando por V_B a V_C.
    • De C para D traçar uma isotérmica (hipérbole) à T_C\approx 457{,}3\\ \mathrm{K}, indo de P=4 a 4{,}8 com redução de volume.
    • De D para A traçar uma adiabática reversível de compressão que sobe de P=4{,}8 até 6\\ \mathrm{atm}, fechando o ciclo. Indicar as setas mostrando o sentido do ciclo (A→B→C→D→A).

Resposta

(a) Gráfico P\times V: esboço com os pontos e curvas — A:(6\\ \mathrm{atm},\;V_A\approx 0{,}006839\\ \mathrm{m^3}), B:(5\\ \mathrm{atm},\;V_B\approx 0{,}008205\\ \mathrm{m^3}), C:(4\\ \mathrm{atm},\;V_C\approx 0{,}009386\\ \mathrm{m^3}), D:(4{,}8\\ \mathrm{atm},\;V_D\approx 0{,}007823\\ \mathrm{m^3}); curvas: A\to B isotérmica ( T=500\\ \mathrm{K}), B\to C adiabática ( \gamma=5/3), C\to D isotérmica ( T\approx457{,}3\\ \mathrm{K}), D\to A adiabática (fecha o ciclo).
(b) No passo 2 (após expansão adiabática até 4\\ \mathrm{atm}): \displaystyle T_C\approx 457{,}3\\ \mathrm{K},\qquad V_C\approx 0{,}009386\\ \mathrm{m^3}.
(c) Valores Q,\\ W,\\ \Delta U,\\ \Delta H (em J), arredondados:
Passo 1 (isotérmico 6\to5\\ \mathrm{atm}): Q_1\approx +757{,}9, W_1\approx +757{,}9, \Delta U_1=0, \Delta H_1=0.
Passo 2 (adiabático 5\to4\\ \mathrm{atm}): Q_2=0, W_2\approx +532{,}1, \Delta U_2\approx -532{,}1, \Delta H_2\approx -887{,}5.
Passo 3 (isotérmico 4\to4{,}8\\ \mathrm{atm}): Q_3\approx -693{,}3, W_3\approx -693{,}3, \Delta U_3=0, \Delta H_3=0.
Passo 4 (adiabático 4{,}8\to6\\ \mathrm{atm}, Q=0): Q_4=0, W_4\approx -532{,}1, \Delta U_4\approx +532{,}1, \Delta H_4\approx +887{,}5.
Ciclo total: Q_{\text{total}}\approx +64{,}6\\ \mathrm{J}, W_{\text{total}}\approx +64{,}6\\ \mathrm{J}, \sum\Delta U=0, \sum\Delta H=0.

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