(a) Comprove que o fator de empacotamento de uma estrutura CFC é igual a de uma estrutura HC.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que o fator de empacotamento (packing factor) de uma estrutura cúbica de faces centradas (CFC) é igual ao fator de empacotamento de uma estrutura hexagonal compacta (HC).
Informações relevantes que vamos usar (dadas ou padrão neste tipo de problema):
- O fator de empacotamento (APF) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelas esferas (átomos) rígidas:
- Em ambas as estruturas as esferas têm raio
(o mesmo para comparação). - Para a CFC vamos usar a relação geométrica entre o parâmetro de rede
e o raio (as esferas se tocam ao longo da diagonal da face). - Para a HC usaremos o parâmetro de rede basal
(lado do hexágono) e a altura da célula convencional ; na HC compacta ideal há uma relação fixa entre e que vem do empacotamento entre camadas. - Vamos precisar também do número de átomos efetivos por célula unitária em cada estrutura (CFC: 4; HC convencional: 6) — esses números aparecem do compartilhamento de átomos nas posições da célula.
A resolução começa agora.
Passo 2
Definição e estratégia: primeiro explico com calma a fórmula do APF e como contar átomos por célula.
- Definição do APF:
- Volume de uma esfera de raio
: - Contagem de átomos na CFC (explicação didática): cada célula CFC tem 8 átomos nos cantos (cada um compartilhado por 8 células, contribuição
cada) e 6 átomos nas faces (cada um compartilhado por 2 células, contribuição cada). Assim o número efetivo de átomos por célula é
Agora vamos calcular o APF da CFC passo a passo.
Passo 3
Cálculo do APF da CFC (passo a passo com explicação das relações geométricas).
- Relação entre o parâmetro de rede
e o raio na CFC: nas estruturas CFC as esferas se tocam ao longo da diagonal de uma face. A diagonal de uma face tem comprimento e é composta por quatro raios (dois raios de cada esfera que se tocam sequencialmente), logo
(Explicação curta: sobre uma face temos três centros de esferas alinhados; a distância centro-centro entre os dois centros mais distantes é a diagonal da face.)
-
Volume da célula cúbica:
-
Volume total das esferas na célula CFC: há
átomos por célula, logo -
Agora o APF da CFC:
Calculemos o denominador:
Então
Portanto a CFC tem APF
(mostrei cada passo: contagem de átomos, relação
–
, volumes).
Passo 4
Preparação para o HCP: explicar a geometria da HC e como obter as medidas da célula convencional.
- Forma da célula convencional HC: é um prisma hexagonal de base regular de lado
e altura . O volume da célula convencional é a área do hexágono vezes . A área de um hexágono regular de lado é
portanto o volume da célula convencional é
- Relação entre
e na HC: na camada basal (plano) as esferas estão em empacotamento compacto triangular, portanto as esferas vizinhas do mesmo plano se tocam e o lado do triângulo equilátero é a distância centro-centro entre vizinhos, ou seja - Determinar
(a altura da célula) para a HC ideal (compacta): a HC é formada por camadas empilhadas ABAB…, e a distância entre uma camada A e a camada B (a altura de um “encasamento” entre uma esfera apoiada no buraco formado por três esferas do plano) pode ser obtida pela geometria do tetraedro formado por três centros no plano e o centro da esfera acima. Seja a altura entre o centro da camada A e o centro da esfera da camada B (meia distância repetitiva). No triângulo equilátero de lado o raio do círculo circunscrito (distância do centro do triângulo ao vértice) é . Pela condição de contato entre a esfera da camada B e uma esfera do plano A, a distância centro-centro satisfaz
Como
, substituindo obtemos
Assim
- Relação entre
e : a célula convencional HC contém duas dessas distâncias (a pilha AB para retornar a uma camada A equivalente), logo
Podemos também escrever
em função de
: como
, obtemos
Essa é a relação conhecida para a HC ideal (as camadas estão tão próximas quanto possível).
Passo 5
Contagem de átomos por célula na HC e cálculo do APF da HC (com os números e substituições passo a passo).
-
Número de átomos por célula convencional na HC: a célula hexagonal convencional da HC (padrão) contém efetivamente
átomos por célula. (Forma de ver: cada célula contém duas camadas principais internas, cada camada ocupa efetivamente três átomos completos por célula — por isso ; esse é o resultado padrão usado para a célula convencional hexagonal compacta.) -
Volume total ocupado pelas esferas na célula HC:
-
Volume da célula convencional HC: usando
e substituindo e , primeiro substituímos em termos de :
Simplificamos o fator numérico:
Logo
Agora substituímos
para escrever em função de
:
- Finalmente o APF da HC:
Passo 6
Conclusão comparativa e interpretação física (didática, para fixar a ideia).
- Obtivemos
e . Portanto os dois fatores coincidem. - Intuição física: tanto a CFC quanto a HC são arranjos de empacotamento compacto (close-packed) — localmente cada esfera tem exatamente doze vizinhas e o empacotamento é o mais denso possível para esferas idênticas em 3D, por isso a mesma eficiência volumétrica máxima aparece em ambos os casos.