(a) Comprove que o fator de empacotamento de uma estrutura CFC é igual a de uma estrutura HC.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que o fator de empacotamento (packing factor) de uma estrutura cúbica de faces centradas (CFC) é igual ao fator de empacotamento de uma estrutura hexagonal compacta (HC).
Informações relevantes que vamos usar (dadas ou padrão neste tipo de problema):
  • O fator de empacotamento (APF) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelas esferas (átomos) rígidas: \text{APF}=\frac{\text{volume total das esferas na célula}}{\text{volume da célula unitária}}.ééá
  • Em ambas as estruturas as esferas têm raio \,r\, (o mesmo r para comparação).
  • Para a CFC vamos usar a relação geométrica entre o parâmetro de rede a e o raio r (as esferas se tocam ao longo da diagonal da face).
  • Para a HC usaremos o parâmetro de rede basal a (lado do hexágono) e a altura da célula convencional c; na HC compacta ideal há uma relação fixa entre c e a que vem do empacotamento entre camadas.
  • Vamos precisar também do número de átomos efetivos por célula unitária em cada estrutura (CFC: 4; HC convencional: 6) — esses números aparecem do compartilhamento de átomos nas posições da célula.
A resolução começa agora.

Passo 2

Definição e estratégia: primeiro explico com calma a fórmula do APF e como contar átomos por célula.
  • Definição do APF: \text{APF}=\frac{\text{número de átomos na célula}\times\text{volume de uma esfera}}{\text{volume da célula}}.úáéé
  • Volume de uma esfera de raio \,r: V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Contagem de átomos na CFC (explicação didática): cada célula CFC tem 8 átomos nos cantos (cada um compartilhado por 8 células, contribuição 1/8 cada) e 6 átomos nas faces (cada um compartilhado por 2 células, contribuição 1/2 cada). Assim o número efetivo de átomos por célula é N_{\text{CFC}}=8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=1+3=4.
Agora vamos calcular o APF da CFC passo a passo.

Passo 3

Cálculo do APF da CFC (passo a passo com explicação das relações geométricas).
  • Relação entre o parâmetro de rede \,a\, e o raio \,r na CFC: nas estruturas CFC as esferas se tocam ao longo da diagonal de uma face. A diagonal de uma face tem comprimento \,a\sqrt{2}\, e é composta por quatro raios (dois raios de cada esfera que se tocam sequencialmente), logo a\sqrt{2}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
(Explicação curta: sobre uma face temos três centros de esferas alinhados; a distância centro-centro entre os dois centros mais distantes é a diagonal da face.)
  • Volume da célula cúbica: V_{\text{célula,CFC}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}.é
  • Volume total das esferas na célula CFC: há N_{\text{CFC}}=4 átomos por célula, logo V_{\text{átomos,CFC}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Agora o APF da CFC: \text{APF}_{\text{CFC}}=\frac{V_{\text{átomos,CFC}}}{V_{\text{célula,CFC}}} =\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{(2\sqrt{2}\,r)^{3}}.áé
Calculemos o denominador: (2\sqrt{2}\,r)^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}\,r^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}. Então
\text{APF}_{\text{CFC}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Portanto a CFC tem APF \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} (mostrei cada passo: contagem de átomos, relação a r, volumes).

Passo 4

Preparação para o HCP: explicar a geometria da HC e como obter as medidas da célula convencional.
  • Forma da célula convencional HC: é um prisma hexagonal de base regular de lado \,a\, e altura \,c. O volume da célula convencional é a área do hexágono vezes c. A área de um hexágono regular de lado a é A_{\text{hex}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2},
portanto o volume da célula convencional é V_{\text{célula,HC}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.é
  • Relação entre a e r na HC: na camada basal (plano) as esferas estão em empacotamento compacto triangular, portanto as esferas vizinhas do mesmo plano se tocam e o lado do triângulo equilátero é a distância centro-centro entre vizinhos, ou seja a=2r.
  • Determinar c (a altura da célula) para a HC ideal (compacta): a HC é formada por camadas empilhadas ABAB…, e a distância entre uma camada A e a camada B (a altura de um “encasamento” entre uma esfera apoiada no buraco formado por três esferas do plano) pode ser obtida pela geometria do tetraedro formado por três centros no plano e o centro da esfera acima. Seja h a altura entre o centro da camada A e o centro da esfera da camada B (meia distância repetitiva). No triângulo equilátero de lado a o raio do círculo circunscrito (distância do centro do triângulo ao vértice) é \dfrac{a}{\sqrt{3}}. Pela condição de contato entre a esfera da camada B e uma esfera do plano A, a distância centro-centro satisfaz \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+h^{2}=(2r)^{2}.
Como a=2r, substituindo obtemos
\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^{2}+h^{2}=4r^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{4r^{2}}{3}+h^{2}=4r^{2}.
Assim
h^{2}=4r^{2}-\frac{4r^{2}}{3}=\frac{8}{3}r^{2}\quad\Rightarrow\quad h=r\sqrt{\frac{8}{3}}.
  • Relação entre c e h: a célula convencional HC contém duas dessas distâncias (a pilha AB para retornar a uma camada A equivalente), logo c=2h=2r\sqrt{\frac{8}{3}}.
Podemos também escrever c em função de a: como a=2r, obtemos
c=\sqrt{\frac{8}{3}}\,a.
Essa é a relação conhecida para a HC ideal (as camadas estão tão próximas quanto possível).

Passo 5

Contagem de átomos por célula na HC e cálculo do APF da HC (com os números e substituições passo a passo).
  • Número de átomos por célula convencional na HC: a célula hexagonal convencional da HC (padrão) contém efetivamente 6 átomos por célula. (Forma de ver: cada célula contém duas camadas principais internas, cada camada ocupa efetivamente três átomos completos por célula — por isso 2\times 3=6; esse é o resultado padrão usado para a célula convencional hexagonal compacta.)
  • Volume total ocupado pelas esferas na célula HC: V_{\text{átomos,HC}}=6\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}.á
  • Volume da célula convencional HC: usando \,V_{\text{célula,HC}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}cé e substituindo a=2r e c=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\,a, primeiro substituímos c em termos de a:
V_{\text{célula,HC}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\Big(\sqrt{\tfrac{8}{3}}\,a\Big) =\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{3}\sqrt{\frac{8}{3}}.é
Simplificamos o fator numérico:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} =\frac{3}{2}\sqrt{8}=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}.
Logo
V_{\text{célula,HC}}=3\sqrt{2}\,a^{3}.é
Agora substituímos a=2r para escrever em função de r:
V_{\text{célula,HC}}=3\sqrt{2}\,(2r)^{3}=3\sqrt{2}\cdot 8r^{3}=24\sqrt{2}\,r^{3}.é
  • Finalmente o APF da HC:
\text{APF}_{\text{HC}}=\frac{V_{\text{átomos,HC}}}{V_{\text{célula,HC}}} =\frac{8\pi r^{3}}{24\sqrt{2}\,r^{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.áé

Passo 6

Conclusão comparativa e interpretação física (didática, para fixar a ideia).
  • Obtivemos \text{APF}_{\text{CFC}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} e \text{APF}_{\text{HC}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}. Portanto os dois fatores coincidem.
  • Intuição física: tanto a CFC quanto a HC são arranjos de empacotamento compacto (close-packed) — localmente cada esfera tem exatamente doze vizinhas e o empacotamento é o mais denso possível para esferas idênticas em 3D, por isso a mesma eficiência volumétrica máxima aparece em ambos os casos.

Resposta

\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}

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