Na comunicação digital, o tempo total de transmissão de uma mensagem é diretamente proporcional ao tamanho dos códigos binários associados ao sinal da informação. Sabendo que o tamanho dos códigos é relacionado com a probabilidade P desse sinal ser enviado a partir da expressão: tamanho do código α \log (1 / P), assinale a alternativa correta que contém a expressão aproximada de proporcionalidade do tempo total de transmissåo para um sinal com P=0,15(0,5 ponto):
Oa) t_(total de transmissão) \propto \mathbf{0 , 6 6 8}.
Ob) t_(total de transmissão) \propto 1,497.
Oc) t_(total de transmissão) \propto \mathbf{0 , 1 7 5}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo claramente):
  • O tempo total de transmissão é diretamente proporcional ao tamanho dos códigos binários.
  • O tamanho dos códigos é dado, em proporcionalidade, por \log(1/P).
  • Foi informado \,P=0,15.
  • A tarefa: calcular a expressão aproximada da proporcionalidade do tempo de transmissão para esse sinal (ou seja, avaliar numericamente \log(1/P) na base adequada) e escolher a alternativa correta entre:
    • (a) \;t_{\text{total}} \propto 0,668.
    • (b) \;t_{\text{total}} \propto 1,497.
    • (c) \;t_{\text{total}} \propto 0,175.

Passo 2

Entender o que significa a fórmula é essencial. A expressão dada é
t_{\text{total}} \propto \log\!\left(\frac{1}{P}\right).
Precisamos decidir a base do logaritmo. Como estamos falando de códigos binários (bits), o comprimento típico de um código é medido em bits e usa-se o logaritmo na base 2. Portanto devemos calcular
t_{\text{total}} \propto \log_{2}\!\left(\frac{1}{P}\right).
Explicando rápido o conceito de logaritmo e mudança de base (passo didático):
  • \log_{2}(x) é o expoente que dá 2 elevado a esse expoente para obter x.
  • Para calcular com uma tabela ou calculadora que dá logaritmo decimal ou natural, usa-se a fórmula de mudança de base:
\log_{2}(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)} \quad\text{ou}\quad \log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}.
Aqui vou usar \log_{10} porque é fácil decompor manualmente alguns termos.

Passo 3

Primeiro calcule \dfrac{1}{P} com \,P=0,15:
\frac{1}{0,15}=\frac{100}{15}=\frac{20}{3}=6,\overline{6}.
Agora calcule \log_{2}\!\left(\dfrac{20}{3}\right) usando mudança de base por \log_{10}:
\log_{2}\!\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{\log_{10}\!\left(\dfrac{20}{3}\right)}{\log_{10}(2)}.
Calcule \log_{10}\!\left(\dfrac{20}{3}\right) por diferença:
\log_{10}\!\left(\frac{20}{3}\right)=\log_{10}(20)-\log_{10}(3).
Valores conhecidos (aproximações usadas com três ou quatro casas significativas):
\log_{10}(20)=1,30103,\qquad \log_{10}(3)=0,47712.
Logo
\log_{10}\!\left(\frac{20}{3}\right)=1,30103-0,47712=0,82391.
E \log_{10}(2)=0,30103. Portanto
\log_{2}\!\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{0,82391}{0,30103}\approx 2,737.

Passo 4

Interpretação numérica: com \,P=0,15 e logaritmo na base 2 (adequado para códigos binários),
t_{\text{total}} \propto \log_{2}\!\left(\frac{1}{0,15}\right)\approx 2,737.
Agora compare este resultado com as alternativas fornecidas:
  • (a) 0,668 — não coincide com 2,737.
  • (b) 1,497 — não coincide com 2,737.
  • (c) 0,175 — não coincide com 2,737.
Portanto nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) corresponde ao valor correto se adotarmos a base 2, que é a escolha natural para códigos binários. Só para referência rápida: se alguém usasse logaritmo na base 10 obteria \log_{10}(1/0,15)\approx 0,824; se usasse logaritmo natural obteria \ln(1/0,15)\approx 1,897. Nenhum desses valores coincide com as alternativas dadas.

Passo 5

Recapitulando e te animando: o raciocínio importante que precisas levar pra prova é
  • identificar que o comprimento do código em bits é \log_{2}(1/P),
  • saber usar mudança de base para calcular sem depender exclusivamente de uma calculadora especializada,
  • e fazer a substituição com cuidado (aqui 1/P=20/3), o que facilita os cálculos manuais. Conseguiste entender o caminho — ótimo! Se quiser, repito com mais exemplos de probabilidades para fixar.

Resposta

Nenhuma das alternativas (valor correto \approx 2,737).

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