Concentração de glicose, mmol.L ^-1 Absorbância, A
0,0 0,002
2,0 0,150
4,0 0,294
6,0 0,434
8,0 0,570
10,0 0,704
(a) Considerando que existe uma relação linear, encontre as estimativas para a inclinação e para o intercepto com base no método dos mínimos quadrados.
(b) Qual o desvio padrão para o intercepto e para a inclinação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tabela relacionando a concentração de glicose com a absorbância. O que a gente precisa fazer aqui é aplicar a Regressão Linear usando o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar a inclinação e o intercepto da reta que melhor se encaixa nesses dados. Além disso, vamos calcular o desvio padrão tanto da inclinação quanto do intercepto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método dos Mínimos Quadrados. Basicamente, ele nos ajuda a encontrar a melhor reta que se ajusta aos pontos do nosso gráfico, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação da reta é:
y = a cdot x + b
onde:
  • $ y $ é a absorbância,
  • $ x $ é a concentração de glicose,
  • $ a $ é a inclinação,
  • $ b $ é o intercepto.
Para encontrar $ a $ e $ b $, precisamos calcular algumas somas a partir dos dados fornecidos.

Passo 3

Vamos organizar nossos dados:
Concentração de glicose, $ x $ (mmol.L x ) Absorbância, $ y $ (A)
0,0 0,002
2,0 0,150
4,0 0,294
6,0 0,434
8,0 0,570
10,0 0,704
Vamos calcular as seguintes somas:
^-1
y
sum x = 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
sum y = 0,002 + 0,150 + 0,294 + 0,434 + 0,570 + 0,704 = 2,144
E o número de pontos, $ n = 6 $.

Passo 4

Agora, usamos as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para calcular a inclinação $ a $ e o intercepto $ b $:
a
b
Vamos substituir os valores que calculamos:
Para $ a $:
a = nsum xy - sum x sum ynsum x^2 - (sum x)^2
b = sum y - a sum xn
a
a = 6 times 15,680 - 30 times 2,1446 times 220 - 30^2
Para $ b $:
a = 94,08 - 64,321320 - 900
a = 29,76420
a = 0,0707
b

Passo 5

Agora que temos a inclinação e o intercepto, vamos escrever a equação da reta:
y = 0,0707 cdot x + 0,0038
Isso significa que para cada aumento de 1 mmol.L ^-1 na concentração de glicose, a absorbância aumenta aproximadamente 0,0707 unidades.

Passo 6

Passando para a parte (b), precisamos calcular o desvio padrão para o intercepto $ b $ e para a inclinação $ a $. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
b
a
s = raizsum (yi - yi)^2n - 2
Onde:
  • $ \hat{y}_i $ é o valor previsto pela reta,
  • $ \bar{x} $ é a média de $ x $.
Vamos calcular passo a passo.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ \bar{x} $:
barx
Agora, vamos calcular $ \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $:
Primeiro, encontramos $ \hat{y}_i $ para cada $ x_i $:
barx = sum xn = 306 = 5
Agora, calculamos $ (y_i - \hat{y}_i)^2 $:
sum (yi - yi)^2
Somando todos esses valores:
yi

Passo 8

Agora, calculamos $ s $:
s
Em seguida, calculamos $ \sum (x_i - \bar{x})^2 $:
s = raiz0,000119646 - 2 = raiz0,000119644 = raiz0,00002991 approx 0,00547
Somando:
sum (xi - barx)^2

Passo 9

Agora, calculamos $ \sigma_a $ e $ \sigma_b $:
sigmaa
sigmab

Resposta

(a) A estimativa da inclinação é aproximadamente $ 0,0707 $ e o intercepto é aproximadamente $ 0,0038 $.
(b) O desvio padrão da inclinação é aproximadamente $ 0,000654 $ e o desvio padrão do intercepto é aproximadamente $ 0,00395 $.

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