Concentração de glicose, mmol.L
|
Absorbância, A |
---|---|
0,0 | 0,002 |
2,0 | 0,150 |
4,0 | 0,294 |
6,0 | 0,434 |
8,0 | 0,570 |
10,0 | 0,704 |
(a) Considerando que existe uma relação linear, encontre as estimativas para a inclinação e para o intercepto com base no método dos mínimos quadrados.
(b) Qual o desvio padrão para o intercepto e para a inclinação?
(b) Qual o desvio padrão para o intercepto e para a inclinação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tabela relacionando a concentração de glicose com a absorbância. O que a gente precisa fazer aqui é aplicar a Regressão Linear usando o Método dos Mínimos Quadrados para encontrar a inclinação e o intercepto da reta que melhor se encaixa nesses dados. Além disso, vamos calcular o desvio padrão tanto da inclinação quanto do intercepto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método dos Mínimos Quadrados. Basicamente, ele nos ajuda a encontrar a melhor reta que se ajusta aos pontos do nosso gráfico, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação da reta é:
onde:
- $ y $ é a absorbância,
- $ x $ é a concentração de glicose,
- $ a $ é a inclinação,
- $ b $ é o intercepto.
Para encontrar $ a $ e $ b $, precisamos calcular algumas somas a partir dos dados fornecidos.
Passo 3
Vamos organizar nossos dados:
Concentração de glicose, $ x $ (mmol.L
|
Absorbância, $ y $ (A) |
---|---|
0,0 | 0,002 |
2,0 | 0,150 |
4,0 | 0,294 |
6,0 | 0,434 |
8,0 | 0,570 |
10,0 | 0,704 |
Vamos calcular as seguintes somas:
E o número de pontos, $ n = 6 $.
Passo 4
Agora, usamos as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para calcular a inclinação $ a $ e o intercepto $ b $:
Vamos substituir os valores que calculamos:
Para $ a $:
Para $ b $:
Passo 5
Agora que temos a inclinação e o intercepto, vamos escrever a equação da reta:
Isso significa que para cada aumento de 1 mmol.L
na concentração de glicose, a absorbância aumenta aproximadamente 0,0707 unidades.
Passo 6
Passando para a parte (b), precisamos calcular o desvio padrão para o intercepto $ b $ e para a inclinação $ a $. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Onde:
- $ \hat{y}_i $ é o valor previsto pela reta,
- $ \bar{x} $ é a média de $ x $.
Vamos calcular passo a passo.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ \bar{x} $:
Agora, vamos calcular $ \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $:
Primeiro, encontramos $ \hat{y}_i $ para cada $ x_i $:
Agora, calculamos $ (y_i - \hat{y}_i)^2 $:
Somando todos esses valores:
Passo 8
Agora, calculamos $ s $:
Em seguida, calculamos $ \sum (x_i - \bar{x})^2 $:
Somando:
Passo 9
Agora, calculamos $ \sigma_a $ e $ \sigma_b $:
Resposta
(a) A estimativa da inclinação é aproximadamente $ 0,0707 $ e o intercepto é aproximadamente $ 0,0038 $.
(b) O desvio padrão da inclinação é aproximadamente $ 0,000654 $ e o desvio padrão do intercepto é aproximadamente $ 0,00395 $.