Em uma concessionária de veículos, um determinado carro custa
15.000,00
1^{\mathrm{a}}
2 %$ a.m., qual será o valor das parcelas, uma vez seja adotado o critério de desconto racional simples e data focal zero?
R: $ 5.198,72
R: $ 5.198,72
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor:
- Preço à vista do carro:
. - Pagamento será feito em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª parcela para 30 dias, a 2ª para 60 dias e a 3ª para 90 dias após a compra.
- Taxa de juros:
ao mês. - Adota-se o critério de desconto racional simples e data focal zero (ou seja, trazemos cada parcela para o instante
, que é o momento da compra). - Pergunta: qual será o valor de cada parcela (valor mensal igual) de modo que o valor presente das três parcelas descontadas racionalmente seja igual a
?
Passo 2
Explicação do método (fórmula que vamos usar) — saiba o que cada símbolo significa:
- Quando temos um valor futuro
que vence daqui a períodos e a taxa de juros simples é por período, a relação entre o valor presente e o valor futuro é dada por
Isso vem da definição de juros simples: os juros acumulados são
e o montante é
mais esses juros.
- Desse modo, se queremos o valor presente
sabendo o futuro , isolamos :
Essa é a fórmula do desconto racional simples aplicada “ao contrário”: ela nos diz quanto vale hoje um pagamento futuro
.
- Interpretação das variáveis:
-
é o valor da parcela no vencimento (o que queremos descobrir — chamaremos de ). -
é a taxa por período (aqui ). -
é o número de períodos até o vencimento (em meses: 1, 2 e 3). -
é o valor presente correspondente a esse pagamento futuro, trazido para a data focal zero.
-
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: cada parcela tem valor
e vence em
meses. O valor presente de cada parcela, usando desconto racional simples, é
Como o critério exige que o somatório dos valores presentes seja igual ao preço à vista, temos a equação
Passo 4
Simplificamos os denominadores:
Então a equação fica
Fatorando
:
Passo 5
Calculamos os fatores (vou mostrar aproximações decimais com boa precisão; também é possível representar exatamente como frações):
Somando:
Agora isolamos
:
Arredondando o valor da parcela para centavos (duas casas decimais), obtemos
pois o terceiro algarismo decimal é
, que não aumenta os centavos.
Passo 6
Resumo prático para fazer numa prova sem calculadora (dica):
- Reconheça as datas: parcelas a 1, 2 e 3 meses.
- Use
para cada parcela. - Some os três fatores
e divida o preço à vista por essa soma. - Se quiser evitar muitas casas decimais, transforme os denominadores em frações exatas:
, , , some essas frações com cálculo exato e depois divida pelo resultado.