Em uma concessionária de veículos, um determinado carro custa \ 15.000,00 à vista. Caso esse carro seja pago em 3 parcelas mensais e iguais, com aà1^{\mathrm{a}} para 30 dias após a compra, a juros deó2 %$ a.m., qual será o valor das parcelas, uma vez seja adotado o critério de desconto racional simples e data focal zero?
R: $ 5.198,72

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor:
  • Preço à vista do carro: \$\,15.000,00.
  • Pagamento será feito em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª parcela para 30 dias, a 2ª para 60 dias e a 3ª para 90 dias após a compra.
  • Taxa de juros: \,2\% ao mês.
  • Adota-se o critério de desconto racional simples e data focal zero (ou seja, trazemos cada parcela para o instante \,0, que é o momento da compra).
  • Pergunta: qual será o valor de cada parcela (valor mensal igual) de modo que o valor presente das três parcelas descontadas racionalmente seja igual a \$\,15.000,00?

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar) — saiba o que cada símbolo significa:
  • Quando temos um valor futuro \,F que vence daqui a \,n períodos e a taxa de juros simples é \,i por período, a relação entre o valor presente \,P e o valor futuro é dada por
F = P\,(1 + i n).
Isso vem da definição de juros simples: os juros acumulados são P\cdot i\cdot n e o montante é P mais esses juros.
  • Desse modo, se queremos o valor presente P sabendo o futuro F, isolamos P:
P = \frac{F}{1 + i n}.
Essa é a fórmula do desconto racional simples aplicada “ao contrário”: ela nos diz quanto vale hoje um pagamento futuro F.
  • Interpretação das variáveis:
    • \,F é o valor da parcela no vencimento (o que queremos descobrir — chamaremos de \,X).
    • \,i é a taxa por período (aqui \,i=2\%=0,02).
    • \,n é o número de períodos até o vencimento (em meses: 1, 2 e 3).
    • \,P é o valor presente correspondente a esse pagamento futuro, trazido para a data focal zero.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: cada parcela tem valor \,X e vence em \,n=1,2,3 meses. O valor presente de cada parcela, usando desconto racional simples, é
\text{PV}_1 = \frac{X}{1 + 0,02\cdot 1},\qquad \text{PV}_2 = \frac{X}{1 + 0,02\cdot 2},\qquad \text{PV}_3 = \frac{X}{1 + 0,02\cdot 3}.
Como o critério exige que o somatório dos valores presentes seja igual ao preço à vista, temos a equação
\frac{X}{1 + 0,02\cdot 1} + \frac{X}{1 + 0,02\cdot 2} + \frac{X}{1 + 0,02\cdot 3} = 15.000.

Passo 4

Simplificamos os denominadores:
1 + 0,02\cdot 1 = 1,02,\quad 1 + 0,02\cdot 2 = 1,04,\quad 1 + 0,02\cdot 3 = 1,06.
Então a equação fica
\frac{X}{1,02} + \frac{X}{1,04} + \frac{X}{1,06} = 15.000.
Fatorando X:
X\left(\frac{1}{1,02} + \frac{1}{1,04} + \frac{1}{1,06}\right) = 15.000.

Passo 5

Calculamos os fatores (vou mostrar aproximações decimais com boa precisão; também é possível representar exatamente como frações):
\frac{1}{1,02}\approx 0,9803921569,
\frac{1}{1,04}\approx 0,9615384615,
\frac{1}{1,06}\approx 0,9433962264.
Somando:
\frac{1}{1,02}+\frac{1}{1,04}+\frac{1}{1,06}\approx 0,9803921569+0,9615384615+0,9433962264\approx 2,8853268448.
Agora isolamos X:
X = \frac{15.000}{2,8853268448}\approx 5.198,721\ldots
Arredondando o valor da parcela para centavos (duas casas decimais), obtemos
X \approx \$\,5.198,72,
pois o terceiro algarismo decimal é 1, que não aumenta os centavos.

Passo 6

Resumo prático para fazer numa prova sem calculadora (dica):
  • Reconheça as datas: parcelas a 1, 2 e 3 meses.
  • Use P=\dfrac{F}{1+in} para cada parcela.
  • Some os três fatores \dfrac{1}{1+in} e divida o preço à vista por essa soma.
  • Se quiser evitar muitas casas decimais, transforme os denominadores em frações exatas: \dfrac{1}{1,02}=\dfrac{100}{102}=\dfrac{50}{51}, \dfrac{1}{1,04}=\dfrac{25}{26}, \dfrac{1}{1,06}=\dfrac{50}{53}, some essas frações com cálculo exato e depois divida 15.000 pelo resultado.

Resposta

\$\,5.198,72