Un condensador de aire, de láminas plano paralelas y de 1.0 pF de capacidad, se conecta a una batería que le proporciona una tensión de 12 V ; sin desconectarlo, se introduce una placa de mica (\mathrm{K}=5) llenando el espacio entre sus armaduras. Determínese la carga que fluirá de la batería al condensador

Passo 1

O enunciado diz que temos um condensador de lâminas planas paralelas com capacidade inicial C_0=1{,}0\\ \mathrm{pF} ligado a uma bateria que fornece tensão V=12\\ \mathrm{V}. Sem desligar a bateria, insere-se uma placa de mica com constante dielétrica K=5 preenchendo todo o espaço entre as armaduras. A pergunta é: determinar a carga que fluirá da bateria para o condensador devido à inserção do dielétrico. Dados relevantes:
C_0=1{,}0\\ \mathrm{pF},\qquad V=12\\ \mathrm{V},\qquad K=5.

Passo 2

Conceito importante: a carga armazenada num condensador é dada por
Q = C\,V,
onde Q é a carga (em coulombs), C é a capacitância (em farads) e V é a tensão entre as placas (em volts). Antes de calcular, convertemos \mathrm{pF} para \mathrm{F}:
1\\ \mathrm{pF}=1\times10^{-12}\\ \mathrm{F},
logo
C_0 = 1{,}0\\ \mathrm{pF} = 1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

Efeito do dielétrico: quando se insere um material de constante dielétrica K que preenche todo o espaço entre as armaduras, a nova capacitância passa a ser
C_f = K\,C_0.
Como a bateria permanece conectada, a tensão V entre as placas permanece constante igual a 12\\ \mathrm{V}. Calculamos C_f:
C_f = 5\cdot(1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{F}) = 5{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Calculamos a carga inicial armazenada antes da inserção do dielétrico. Usando Q_i=C_0 V:
Q_i = (1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{F})\cdot(12\\ \mathrm{V}) = 12\times10^{-12}\\ \mathrm{C} = 1{,}2\times10^{-11}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calculamos a carga final armazenada após a inserção do dielétrico. Usando Q_f=C_f V:
Q_f = (5{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{F})\cdot(12\\ \mathrm{V}) = 60\times10^{-12}\\ \mathrm{C} = 6{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

A carga que flui da bateria é a diferença entre a carga final e a carga inicial:
\Delta Q = Q_f - Q_i = (6{,}0\times10^{-11}) - (1{,}2\times10^{-11})\\ \mathrm{C} = 4{,}8\times10^{-11}\\ \mathrm{C}.
Também podemos ver isso pela fórmula direta
\Delta Q = (K-1)\,C_0\,V,
que dá o mesmo resultado numérico.

Passo 7

Interpretação física curta e motivadora: a bateria mantém a tensão fixa; ao aumentar a capacitância com o dielétrico, o condensador consegue armazenar mais carga à mesma tensão, por isso a bateria fornece carga adicional. Excelente — você já consegue aplicar a ideia em outras questões: sempre que a capacitância muda com a tensão fixa, a carga muda proporcionalmente.

Resposta

4,8\times10^{-11}\\ \mathrm{C}