Qual a condição para que P=(x, y) seja equidistante de A=(2,3) e B=(5,-1) ? R.: 6x-8y-13=0

Passo 1

Beleza, a questão quer saber qual é a condição para que um ponto esteja na mesma distância dos pontos e . Vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos no plano para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e :
â
Isso vai nos ajudar a igualar as distâncias de para e .

Passo 3

Vamos calcular a distância de PA = raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 até :

Passo 4

Agora, a distância de PB = raiz(x - 5)^2 + (y + 1)^2 até :

Passo 5

Como raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = raiz(x - 5)^2 + (y + 1)^2 deve estar equidistante de e , as distâncias e devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 5)^2 + (y + 1)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 2y + 1)

Passo 8

Simplificando os termos:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 2y + 1

Passo 9

Subtraindo -4x + 4 - 6y + 9 = -10x + 25 + 2y + 1 e de ambos os lados para simplificar:

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:
-4x - 6y + 13 = -10x + 2y + 26

Passo 11

Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
-4x - 6y + 13 + 10x - 2y - 26 = 0
Simplificando:
6x - 8y - 13 = 0

Resposta

A condição para que seja equidistante de e é .

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