Que condições são necessárias para que um campo magnético produza tensão em um fio?

Passo 1

O que o enunciado pede: listar e explicar as condições necessárias para que um campo magnético produza tensão (fem/voltagem) em um fio.
Informações implícitas que vamos usar: há um campo magnético \mathbf{B}, há um fio condutor (pode ser parte de um circuito ou um fio isolado que se move), e queremos saber quando aparece uma diferença de potencial (tensão) induzida entre pontos do fio ou ao longo de um circuito.

Passo 2

Conceito central: fluxo magnético. Vou ensinar devagarinho o que é isso.
Definição: o fluxo magnético por uma superfície S é
\Phi=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Explanação: \mathbf{B} é o campo magnético (vetor). O vetor d\mathbf{A} é um elemento de área apontando com a orientação escolhida. O produto escalar \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} mede quantas linhas de campo passam “pela” aquela pequena área. Somando (integrando) sobre toda a área obtemos o fluxo \Phi.

Passo 3

Lei de Faraday (a regra prática para tensão induzida). Ela diz:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt},
onde \mathcal{E} é a força eletromotriz (fem) total ao longo de um circuito fechado.
Explicação das variáveis: \mathcal{E} tem unidades de volts; \Phi é fluxo magnético. O sinal menos é a Lei de Lenz (vai explicar a direção). O ponto importante: uma variação temporal do fluxo ligado a um caminho fechado produz uma tensão ao redor desse caminho.

Passo 4

Como o fluxo pode variar (ou seja, como obter d\Phi/dt\neq 0)? Existem três formas intuitivas:
  • o campo \mathbf{B} muda com o tempo em uma região (por exemplo corrente num solenoide varrendo); então \partial\mathbf{B}/\partial t\neq0;
  • a área do circuito muda com o tempo (um laço que se estica ou encolhe) — a integral muda porque a superfície muda;
  • a orientação entre o laço e \mathbf{B} muda (por exemplo um laço que gira), alterando \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
    Qualquer uma dessas mudanças altera \Phi e, se a mudança for no tempo, \dfrac{d\Phi}{dt}\neq0 e surge \mathcal{E}.

Passo 5

E quando o fio está em movimento numa campo magnético estacionário? (Motional emf)
Aqui o mecanismo aparente é diferente na forma, mas o resultado também gera tensão. Cargas dentro do fio que se movem com velocidade \mathbf{v} sentem a força de Lorentz:
\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
Se essa força tem componente ao longo do fio, ela separa cargas e cria uma diferença de potencial. A fem motional é dada por
\mathcal{E}=\int (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l},
onde d\mathbf{l} percorre o fio. Caso simples e muito usado: um fio de comprimento \ell se move com velocidade v perpendicular a \mathbf{B} e ao fio, então
\mathcal{E}=B\ell v.
Explicando as variáveis: q é carga, \mathbf{v} velocidade do condutor (ou das cargas), \ell comprimento efetivo do fio cortando linhas de \mathbf{B}.

Passo 6

Relação entre as duas visões (Faraday e motional). São consistentes: movimento do fio que muda a área ligada ao circuito também muda o fluxo (Faraday); e a fórmula com \mathbf{v}\times\mathbf{B} dá a mesma tensão quando aplicada corretamente. A ideia unificadora é: o que importa é haver um campo elétrico induzido (não-conservativo) ou uma força sobre cargas que tenha componente ao longo do condutor.

Passo 7

Condição sobre a direção do campo elétrico induzido. A tensão medida entre dois pontos a e b de um fio é
V_{ab}=\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l},
onde \mathbf{E} aqui pode ser o campo elétrico induzido (produzido por \partial\mathbf{B}/\partial t) ou o campo efetivo devido a \mathbf{v}\times\mathbf{B}. Para aparecer tensão é necessário que essa integral seja diferente de zero — ou seja, que exista componente de \mathbf{E} ao longo do fio entre a e b. Se o campo induzido for perpendicular ao fio, a integral dá zero e não aparece diferença de potencial entre os pontos.

Passo 8

Circuito fechado versus fio aberto. Se houver um circuito fechado condutor, uma fem \mathcal{E} ao redor do laço gera corrente I=\mathcal{E}/R (onde R é resistência total). Se o fio está aberto (um pedaço solto), pode haver separação de cargas e portanto uma diferença de potencial entre suas extremidades, mas sem circuito fechado não haverá corrente contínua a menos que se conecte um caminho. Em resumo:
  • Para corrente: é necessário circuito fechado e \mathcal{E}\neq0.
  • Para só tensão (diferença de potencial entre pontos): basta \int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\neq0 entre esses pontos, mesmo se circuito aberto.

Passo 9

Direção da tensão: Lei de Lenz. Quando \mathcal{E} é gerada por variação de fluxo, a corrente induzida (se houver circuito) tem direção tal que seu próprio campo magnético tende a se opor à variação do fluxo que a causou. Isso ajuda a determinar polaridade do fio ou sentido da corrente numa prova prática.

Passo 10

Casos que NÃO produzem tensão:
  • campo magnético estático ( \partial\mathbf{B}/\partial t=0) e fio em repouso (sem movimento que corte linhas) → nada se induz;
  • se houver variação de \mathbf{B} mas a geometria for tal que não haja fluxo ligado ao caminho considerado (por exemplo um fio pequeno fora da área onde \Phi muda) então pode não aparecer tensão medida.

Passo 11

Resumo prático (checagem rápida que pode usar na prova):
  • Há variação temporal do fluxo magnético ligado ao circuito/fio? ( \dfrac{d\Phi}{dt}\neq0) — se sim, tensão gerada por Faraday.
  • Ou o fio corta linhas de \mathbf{B} movendo-se com velocidade tal que (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}\neq0? — se sim, há motional emf.
  • O campo elétrico induzido tem componente ao longo do fio? ( \int \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\neq0) — se sim, aparece diferença de potencial.
  • Quer corrente além da tensão? Então precisa de circuito fechado e condutor com resistência finita para que haja corrente observável.

Resposta

  • É necessário que haja variação temporal do fluxo magnético ligado ao circuito/fio, i.e. \dfrac{d\Phi}{dt}\neq0, sendo \Phi=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
  • Alternativamente, se o fio se move em um campo magnético, deve ocorrer \int(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}\neq0 (componente da força de Lorentz ao longo do fio) — motional emf.
  • Deve existir componente do campo elétrico induzido ao longo do fio: \int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\neq0.
  • Para corrente estacionária além da tensão é preciso circuito fechado e condutividade (ou seja, circuito completo com resistência finita).

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