Se um condutor cilíndrico de raio
produz uma intensidade de campo magnético
, onde
é uma constante, para
, determine:
a)
para
.
b)
para
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a intensidade de campo magnético dentro do condutor cilíndrico e pede duas coisas. Informações dadas:
- Para
vale , onde e são constantes. - Não há menção de dependência em
ou ; o campo depende só de .
O que se pede:
a) Determinar para
.
b) Determinar para
.
a) Determinar
b) Determinar
Passo 2
Princípio que vamos usar (magnetostática, corrente estacionária): a forma diferencial da lei de Ampère é
onde
é a densidade de corrente (unidade A/m
). Isso significa que, se conhecemos
, podemos obter
calculando o rotacional (curl) de
.
Passo 3
Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (para um campo
):
Como o campo dado tem
,
e
, e não depende de
nem de
, a única componente possível do rotacional é a componente em
.
Passo 4
Calcular explicitamente a componente
do rotacional para
.
Primeiro calcular
:
Derivar em relação a
:
Dividindo por
conforme a fórmula do rotacional:
Portanto o rotacional é constante na direção
. Usando
obtemos, para
,
Interpretação: a densidade de corrente é uniforme (independe de
) e aponta ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora vamos achar
para
. Como o problema tem simetria cilíndrica, a linha de campo magnético será azimutal (
) e a intensidade depende só de
:
.
Para usar a forma integral da lei de Ampère (útil para encontrar o campo fora quando se conhece a corrente total):
onde
é a corrente total atravessando a área limitada pela curva de integração.
Passo 6
Calcular a corrente total
atravessando a seção transversal do cilindro (para
a integral engloba toda a seção de raio
). Como
, temos
Fazendo a integral:
Passo 7
Aplicar Ampère numa curva circular de raio
. Pelo simetria
tem módulo constante ao longo do contorno e é tangente, portanto
Igualando ao
:
Logo, para
,
Observação: no contorno
o valor de
dentro dá
e o valor fora também dá
, ou seja
é contínuo na superfície em ausência de superfície de corrente.
Resposta
a)
b)
b)