Se um condutor cilíndrico de raio a produz uma intensidade de campo magnético \vec{H}=k_{0}\left(\frac{\rho}{a}\right) \hat{a}_{\varphi}, onde k_{0} é uma constante, para \rho<a, determine:
a) \vec{J} para \rho<a.
b) \vec{H} para \rho>a.

Passo 1

O enunciado dá a intensidade de campo magnético dentro do condutor cilíndrico e pede duas coisas. Informações dadas:
  • Para \rho<a vale \vec{H}=k_{0}\left(\dfrac{\rho}{a}\right)\hat{a}_{\varphi}, onde k_{0} e a são constantes.
  • Não há menção de dependência em \varphi ou z; o campo depende só de \rho.
O que se pede:
a) Determinar \vec{J} para \rho<a.
b) Determinar \vec{H} para \rho>a.

Passo 2

Princípio que vamos usar (magnetostática, corrente estacionária): a forma diferencial da lei de Ampère é
\nabla\times\vec{H}=\vec{J},
onde \vec{J} é a densidade de corrente (unidade A/m ^2). Isso significa que, se conhecemos \vec{H}, podemos obter \vec{J} calculando o rotacional (curl) de \vec{H}.

Passo 3

Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (para um campo \vec{A}=A_{\rho}\hat a_{\rho}+A_{\varphi}\hat a_{\varphi}+A_{z}\hat a_{z}):
(\nabla\times\vec{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho A_{\varphi}\bigr)-\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\varphi}.
Como o campo dado tem A_{\rho}=0, A_{\varphi}=k_{0}\dfrac{\rho}{a} e A_{z}=0, e não depende de \varphi nem de z, a única componente possível do rotacional é a componente em z.

Passo 4

Calcular explicitamente a componente z do rotacional para \rho<a.
Primeiro calcular \rho A_{\varphi}:
\rho A_{\varphi}=\rho\cdot k_{0}\frac{\rho}{a}=k_{0}\frac{\rho^{2}}{a}.
Derivar em relação a \rho:
\frac{d}{d\rho}\bigl(\rho A_{\varphi}\bigr)=\frac{d}{d\rho}\!\left(k_{0}\frac{\rho^{2}}{a}\right)=k_{0}\frac{2\rho}{a}.
Dividindo por \rho conforme a fórmula do rotacional:
(\nabla\times\vec{H})_{z}=\frac{1}{\rho}\cdot k_{0}\frac{2\rho}{a}=\frac{2k_{0}}{a}.
Portanto o rotacional é constante na direção z. Usando \nabla\times\vec{H}=\vec{J} obtemos, para \rho<a,
\vec{J}=\frac{2k_{0}}{a}\,\hat{a}_{z}.
Interpretação: a densidade de corrente é uniforme (independe de \rho) e aponta ao longo do eixo z.

Passo 5

Agora vamos achar \vec{H} para \rho>a. Como o problema tem simetria cilíndrica, a linha de campo magnético será azimutal ( \hat a_{\varphi}) e a intensidade depende só de \rho: \vec{H}(\rho)=H_{\varphi}(\rho)\hat a_{\varphi}.
Para usar a forma integral da lei de Ampère (útil para encontrar o campo fora quando se conhece a corrente total):
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área limitada pela curva de integração.

Passo 6

Calcular a corrente total I_{\text{enc}} atravessando a seção transversal do cilindro (para \rho>a a integral engloba toda a seção de raio a). Como \vec{J}=\dfrac{2k_{0}}{a}\hat a_{z}, temos
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{a} J_{z}(\rho')\,2\pi\rho'\,d\rho' =\int_{0}^{a}\frac{2k_{0}}{a}\,2\pi\rho'\,d\rho'.
Fazendo a integral:
I_{\text{enc}}=\frac{2k_{0}}{a}\,2\pi\int_{0}^{a}\rho'\,d\rho' =\frac{2k_{0}}{a}\,2\pi\left[\frac{\rho'^{2}}{2}\right]_{0}^{a} =\frac{2k_{0}}{a}\,2\pi\cdot\frac{a^{2}}{2}=2\pi k_{0}a.

Passo 7

Aplicar Ampère numa curva circular de raio \rho> a. Pelo simetria \vec{H} tem módulo constante ao longo do contorno e é tangente, portanto
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_{\varphi}(\rho)\cdot 2\pi\rho.
Igualando ao I_{\text{enc}}:
H_{\varphi}(\rho)\,2\pi\rho=2\pi k_{0}a \quad\Rightarrow\quad H_{\varphi}(\rho)=\frac{k_{0}a}{\rho}.
Logo, para \rho>a,
\vec{H}=k_{0}\frac{a}{\rho}\,\hat{a}_{\varphi}.
Observação: no contorno \rho=a o valor de \vec{H} dentro dá k_{0} e o valor fora também dá k_{0}, ou seja \vec{H} é contínuo na superfície em ausência de superfície de corrente.

Resposta

a) \displaystyle \vec{J}=\frac{2k_{0}}{a}\,\hat{a}_{z}\quad(\rho<a)
b) \displaystyle \vec{H}=k_{0}\frac{a}{\rho}\,\hat{a}_{\varphi}\quad(\rho>a)

Exercícios relacionados