Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando o método que julgar mais adequado (obtenha expressões mínimas).
\overline{A \cdot (\overline{B+\bar{C}})} \cdot D

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão lógica abaixo e pede que ela seja simplificada (obter uma expressão mínima):
\overline{A \cdot (\overline{B+\bar{C}})} \cdot D
Informações dadas:
  • As operações presentes são: complemento (barra), conjunção (produto, \cdot) e disjunção (soma, +).
  • A expressão inteira é o produto da parte complementada com D.
    O objetivo é aplicar identidades lógicas passo a passo até obter uma forma mais simples e mínima.

Passo 2

Vamos simplificar primeiro a parte interna \overline{B+\bar{C}}.
Regra usada (forma de De Morgan): o complemento de uma soma é o produto dos complementos. Em símbolos:
\overline{X+Y} = \overline{X}\cdot\overline{Y}.
Aplicando com X=B e Y=\bar{C}:
\overline{B+\bar{C}} = \overline{B}\cdot\overline{\bar{C}}.
Como o complemento do complemento retorna o valor original, isto é \overline{\bar{C}} = C, obtemos
\overline{B+\bar{C}} = \overline{B}\cdot C.

Passo 3

Substituindo o resultado no produto com A, a expressão dentro da primeira barra vira um produto com três literais:
A \cdot (\overline{B+\bar{C}}) = A \cdot (\overline{B}\cdot C) = A\cdot\overline{B}\cdot C.
Aqui apenas reescrevemos a associação do \cdot: conjunção é associativa.

Passo 4

Agora tomamos o complemento da conjunção A\cdot\overline{B}\cdot C.
Regra usada (De Morgan para complemento de produto): o complemento de um produto é a soma dos complementos:
\overline{X\cdot Y\cdot Z} = \overline{X} + \overline{Y} + \overline{Z}.
Aplicando com X=A, Y=\overline{B}, Z=C:
\overline{A\cdot\overline{B}\cdot C} = \overline{A} + \overline{\overline{B}} + \overline{C}.
Novamente \overline{\overline{B}} = B, então
\overline{A\cdot\overline{B}\cdot C} = \overline{A} + B + \overline{C}.

Passo 5

Substituímos o resultado acima na expressão original, multiplicando por D:
\left(\overline{A} + B + \overline{C}\right)\cdot D.
Podemos reescrever de forma mais comum como
D\cdot\left(\overline{A} + B + \overline{C}\right).

Passo 6

Verificação de minimalidade e forma final:
  • A forma em produto por uma soma, D\cdot(\overline{A}+B+\overline{C}), é mais compacta em número de literais do que expandir para soma de produtos ( D\overline{A}+DB+D\overline{C}), porque D fica fatorado.
  • Não há identidades ou termos redundantes que permitam eliminar mais literais sem informação adicional entre variáveis (como equivalências entre variáveis). Portanto a expressão fatorada é efetivamente mínima no sentido usual (menor contagem de literais ao fatorar).

Resposta

D\cdot(\overline{A}+B+\overline{C})

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