Um condutor esférico de raio
neutro tem uma cavidade concêntrica de raio
em seu interior, onde existe uma carga
localizada em seu centro (figura abaixo). Há alguma carga induzida na superfície interna do condutor? Se sim, escreva densidade superficial de carga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um condutor esférico neutro com raio $ R $ e uma cavidade dentro dele com raio $ a $. No centro dessa cavidade, tem uma carga $ +Q $. A pergunta é: há alguma carga induzida na superfície interna do condutor? E se sim, qual é a densidade superficial dessa carga. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre condutores e distribuição de cargas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso é uma propriedade fundamental dos condutores.
Passo 3
Como há uma carga $ +Q $ dentro da cavidade, ela vai influenciar as cargas no condutor. Para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero, cargas de sinal oposto devem se distribuir na superfície interna da cavidade.
Passo 4
Portanto, a carga induzida na superfície interna da cavidade vai ser igual e oposta à carga dentro dela. Ou seja, teremos uma carga induzida de $ -Q $ na superfície interna.
Passo 5
Agora, para encontrar a densidade superficial de carga ($ \sigma $) na superfície interna, usamos a fórmula:
Onde:
- $ q $ é a carga induzida ($ -Q $)
- $ A $ é a área da superfície interna da cavidade
Passo 6
Calculamos a área da superfície interna da cavidade esférica com raio $ a $:
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da densidade superficial:
Resposta
Sim, existe uma carga induzida na superfície interna do condutor. A densidade superficial de carga é dado por: