Um condutor esférico de raio R neutro tem uma cavidade concêntrica de raio a em seu interior, onde existe uma carga +Q localizada em seu centro (figura abaixo). Há alguma carga induzida na superfície interna do condutor? Se sim, escreva densidade superficial de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um condutor esférico neutro com raio $ R $ e uma cavidade dentro dele com raio $ a $. No centro dessa cavidade, tem uma carga $ +Q $. A pergunta é: há alguma carga induzida na superfície interna do condutor? E se sim, qual é a densidade superficial dessa carga. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre condutores e distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso é uma propriedade fundamental dos condutores.

Passo 3

Como há uma carga $ +Q $ dentro da cavidade, ela vai influenciar as cargas no condutor. Para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero, cargas de sinal oposto devem se distribuir na superfície interna da cavidade.

Passo 4

Portanto, a carga induzida na superfície interna da cavidade vai ser igual e oposta à carga dentro dela. Ou seja, teremos uma carga induzida de $ -Q $ na superfície interna.

Passo 5

Agora, para encontrar a densidade superficial de carga ($ \sigma $) na superfície interna, usamos a fórmula:
sigma
Onde:
  • $ q $ é a carga induzida ($ -Q $)
  • $ A $ é a área da superfície interna da cavidade

Passo 6

Calculamos a área da superfície interna da cavidade esférica com raio $ a $:
a

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da densidade superficial:
sigma = -Q4pi a^2

Resposta

Sim, existe uma carga induzida na superfície interna do condutor. A densidade superficial de carga é dado por:
sigma = -Q4pi a^2

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