Um condutor filamentar conduz uma corrente I na direção - \mathbf{a}_{2} e se estende ao longo de todo o eixo z positivo. Na origem, ele é conectado a uma lâmina condutora que forma o plano x y. (a) Determine
\mathbf{K} na lâmina condutora. (b) Use a lei circuital de Ampère para encontrar
\mathbf{H} para z>0. (c) Determine
\mathbf{H} para z<0.

Passo 1

O enunciado descreve um fio fino que percorre o eixo z>0 e conduz uma corrente I em sentido descendente até a origem, onde essa mesma corrente entra numa lâmina condutora infinita no plano z=0 (o plano xy).
Conteúdo: magnetostática – densidade de corrente superficial em um plano condutor e campo \mathbf{H} obtido pela lei de Ampère e pelas condições de contorno em superfícies com corrente.

Passo 2

Para achar a densidade de corrente superficial \mathbf{K} na lâmina, note que toda a corrente I que chega pelo fio se espalha radialmente na lâmina. Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z), a componente radial de \mathbf{K} só depende de \rho e satisfaz
I \;=\;\int_{0}^{2\pi}K_{\rho}(\rho)\,\rho\,d\varphi
porque a corrente que atravessa a circunferência de raio \rho deve ser I. Resolve-se:
I = K_{\rho}(\rho)\,\rho\,(2\pi) \quad\Longrightarrow\quad K_{\rho}(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}.
Logo, em vetor:
\mathbf{K}(\rho,\varphi) = \frac{I}{2\pi\,\rho}\,\mathbf{a}_{\rho} \quad\text{no plano }z=0.

Passo 3

Para z>0, escolhemos um laço de Ampère circular de raio \rho centrado no eixo z, paralelo ao plano xy. A única corrente que atravessa a superfície limitada por esse laço é a do fio (a corrente da lâmina não perfura a superfície acima de z=0). A lei de Ampère dá
\oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\; I_{\rm encl} \quad\Longrightarrow\quad H_{\varphi}(2\pi\rho) = I.
Logo
\mathbf{H}(z>0) = \frac{I}{2\pi\,\rho}\,\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 4

Para z<0, não há fio nem corrente volumétrica, mas há a lâmina em z=0. Usamos a condição de contorno na superfície com corrente superficial \mathbf{K}:
\mathbf{a}_{n}\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr) =\mathbf{K},
onde \mathbf{a}_{n}=\mathbf{a}_{z} aponta de baixo para cima.
Em componentes azimutais, \mathbf{H}_{\text{acima}}=H_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi} e supondo \mathbf{H}_{\text{abaixo}}=H'_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}, tem-se
\mathbf{a}_{z}\times\bigl[(H_{\varphi}-H'_{\varphi})\mathbf{a}_{\varphi}\bigr] =(H_{\varphi}-H'_{\varphi})\mathbf{a}_{\rho} \;=\;\frac{I}{2\pi\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}.
Como já sabemos H_{\varphi}=\tfrac{I}{2\pi\rho} acima, segue H'_{\varphi}=0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{K}(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}\,\mathbf{a}_{\rho} no plano z=0.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(z>0)=\frac{I}{2\pi\,\rho}\,\mathbf{a}_{\varphi}.
(c) \displaystyle \mathbf{H}(z<0)=\mathbf{0}.

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