Por um filamento infinito no eixo z circulam 20 \pi \mathrm{~mA} na direção
\mathbf{a}{z}. Três lâminas cilíndricas de corrente uniforme, na direção
\mathbf{a}
{2}, também estão presentes: 400 \mathrm{~mA} / \mathrm{m} \mathrm{em} \rho=1 \mathrm{~cm},-250 \mathrm{~mA} / \mathrm{m} \mathrm{em} \rho=2 \mathrm{~cm} \mathrm{e}-300 \mathrm{mA} / \mathrm{m} \mathrm{em} \rho=3 \mathrm{~cm}. Calcule H_{\varphi} em \rho=0,5,1,5,2,5 e 3,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá um fio infinito ao longo de z que transporta corrente I=20\pi\;\mathrm{mA} na direção \mathbf{a}_{z}, e três lâminas cilíndricas de corrente superficial uniforme na direção \mathbf{a}_{\varphi} em \rho=1, 2 e 3,cm, com densidades K_{1}=400\;\mathrm{mA/m}, K_{2}=-250\;\mathrm{mA/m} e K_{3}=-300\;\mathrm{mA/m}. Queremos H_{\varphi} nos raios \rho=0,5, 1,5, 2,5 e 3,5,cm.

Passo 2

Aplicamos a lei de Ampère num caminho circular de raio \rho em torno do eixo z. Como esse caminho está ao longo de \mathbf{a}_{\varphi}, a circulação é
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} = H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho).

Passo 3

Para essa superfície limitada pelo laço, só contam as correntes que atravessam orthogonalmente o plano (i.e.\ correntes na direção z). O fio central transporta I=20\pi\;\mathrm{mA}, e as lâminas com K_{i} estão em \mathbf{a}_{\varphi}, ou seja, suas correntes são tangenciais e não atravessam o plano. Logo
I_{\mathrm{enc}}=20\pi\;\mathrm{mA}.

Passo 4

Da lei de Ampère,
H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho)=I_{\mathrm{enc}} \quad\Longrightarrow\quad H_{\varphi}(\rho) =\frac{I_{\mathrm{enc}}}{2\pi\rho} =\frac{20\pi\times10^{-3}}{2\pi\,\rho} =\frac{10^{-2}}{\rho} \quad[\mathrm{A/m}],
onde \rho está em metros.

Passo 5

Agora calculamos H_{\varphi} nos pontos pedidos:
para \rho=0,5,cm =0,005,m,
H_{\varphi} =\frac{0,01}{0,005}=2{,}0\;\mathrm{A/m};
para \rho=1,5,cm =0,015,m,
H_{\varphi} =\frac{0,01}{0,015}\approx0{,}667\;\mathrm{A/m};
para \rho=2,5,cm =0,025,m,
H_{\varphi} =\frac{0,01}{0,025}=0{,}400\;\mathrm{A/m};
para \rho=3,5,cm =0,035,m,
H_{\varphi} =\frac{0,01}{0,035}\approx0{,}286\;\mathrm{A/m}.

Resposta

H_{\varphi}(0,5\mathrm{\,cm})=2{,}0\;\mathrm{A/m} H_{\varphi}(1,5\mathrm{\,cm})\approx0{,}667\;\mathrm{A/m} H_{\varphi}(2,5\mathrm{\,cm})=0{,}400\;\mathrm{A/m} H_{\varphi}(3,5\mathrm{\,cm})\approx0{,}286\;\mathrm{A/m}

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