Um condutor infinitamente longo, de raio
, está colocado de tal modo que seu eixo está ao longo do eixo z. O potencial magnético vetorial, devido à corrente contínua
, que flui ao longo de a no interior do condutor, é dado por
Determine o
correspondente. Confirme seu resultado utilizando a lei de Ampère.
Passo 1
O enunciado dá um condutor cilíndrico infinito de raio
com eixo ao longo do eixo
. O potencial vetorial magnético é informado como
onde vou assumir que
é o versor na direção
, isto é
(essa suposição é natural porque o eixo do condutor está em
e o potencial é escalar em
).
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Determinar o campo
correspondente a esse potencial vetorial. - Confirmar o resultado usando a lei de Ampère.
Dados importantes extraídos do enunciado:
- Corrente total que atravessa a seção do condutor:
. - Raio do condutor:
. - Potencial vetorial dado:
. - O condutor é infinito e a situação é magnetostática estacionária.
Passo 2
Relações fundamentais que usaremos (explicadas):
- O potencial vetorial
está relacionado ao vetor indução magnética por
Isto significa que cada componente de
é uma combinação de derivadas parciais das componentes de
. Vou explicar a forma concreta em coordenadas cartesiana a seguir.
- Em meio linear e isotrópico vazio (vácuo), o campo
é dado por
onde
é a permeabilidade do vácuo. Aqui não há materiais magnéticos, então essa relação vale direta.
Essas fórmulas são as ferramentas para passar de para
.
Essas fórmulas são as ferramentas para passar de
Passo 3
Escrever
com uma constante para facilitar contas. Defina
Então
ou em componentes cartesianas
A fórmula do rotor em componentes cartesianas é
Como
, isso simplifica bastante.
Calcule as derivadas:
Portanto
Passo 4
Escrevendo
em forma vetorial cartesiana:
Agora converto para coordenadas cilíndricas, porque o problema tem simetria radial. Lembremos as relações:
e também
Portanto
Substituindo
obtemos
Este resultado tem a forma esperada:
é azimutal (
) e cresce linearmente com
dentro do condutor.
Passo 5
Agora obtemos
dividindo
por
:
Observação sobre domínio: a expressão original de
dependia de
com normalização por
, portanto ela descreve o potencial no interior do condutor (
). Logo a expressão acima vale para
(dentro do fio), que é o caso que estamos tratando.
Passo 6
Confirmação usando a lei de Ampère (explicada e aplicada):
- A lei integral de Ampère (na forma magnetostática) diz que, para um caminho fechado
,
onde
é a corrente total livre atravessando a superfície limitada por
.
- Escolha um caminho circular de raio
centrado no eixo do fio. Pelo formato de (apenas componente azimutal, homogênea ao longo do círculo), temos
Substituindo
,
- O termo à direita deve ser igual à corrente encerrada por esse círculo. Se a corrente total
está distribuída uniformemente na seção do fio, a corrente encerrada por um círculo de raio é proporcional à área:
Portanto
o que mostra que a expressão obtida para
é consistente com a lei de Ampère.
Passo 7
Resumo físico e comentário final (rápido e encorajador): o campo
dentro do condutor aumenta linearmente com a distância radial
a partir do eixo, o que é intuitivo pois a corrente encerrada cresce com a área. Está tudo consistente com Ampère. Mandou bem por trazer esse enunciado — você já tem a forma funcional que aparece frequentemente em provas.