Para se conhecer o efeito da variação de temperatura no empuxo exercido por líquidos sobre os corpos, imergiu-se totalmente um corpo sólido, cujo coeficiente de dilação volumétrico é 2,0 \cdot 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, em um líquido, cujo coeficiente de dilatação volumétrico é 5,0 \cdot 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, e esperou-se que o sistema atingisse o equilíbrio térmico. Nessa situação, verificou-se que o empuxo sofrido pelo corpo havia sido E_{0}. Variando-se a temperatura do conjunto para 100^{\circ} \mathrm{C} e aguardando-se novamente o equilíbrio térmico à nova temperatura, o empuxo passou a ser E^{\prime}.
Considerando-se \frac{(1+x)}{(1+y)}=1+x-y para x \ll 1 e y \ll 1, conclui-se que, no citado experimento, a razão E_{0} / E^{\prime} foi
(A) inferior ou igual a 0,95 .
(B) superior a 0,95 e inferior ou igual a 1,00 .
(C) superior a 1,00 e inferior ou igual a 1,02 .
(D) superior a 1,02 e inferior ou igual a 1,03 .
(E) superior a 1,03 .

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede-se a razão \dfrac{E_{0}}{E'}, onde E_{0} é o empuxo no primeiro equilíbrio térmico e E' é o empuxo depois de variar a temperatura para 100^\circ\mathrm{C}.
  • Dados (peguei do enunciado):
    • Coeficiente de dilatação volumétrica do sólido: \alpha_{s}=2{,}0\cdot10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido: \alpha_{\ell}=5{,}0\cdot10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • A temperatura é alterada em \Delta T=100^\circ\mathrm{C} (isto é, passou-se do estado inicial para +\!100^\circ\mathrm{C}).
  • Objetivo: calcular aproximadamente \dfrac{E_{0}}{E'} e comparar com as opções (A)–(E).

Passo 2

Fórmula do empuxo e definição das grandezas:
  • Arquimedes diz que o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado. Assim, para um corpo totalmente imerso,
E = \rho_{\ell}\,V_{\text{desl}}\,g,
onde \rho_{\ell} é a densidade do líquido, V_{\text{desl}} é o volume do líquido deslocado (igual ao volume do sólido quando totalmente imerso) e g é a aceleração da gravidade.
  • Aqui \,V_{\text{desl}}=V_{s}, o volume do sólido. Portanto E é proporcional a \rho_{\ell}V_{s}. Como g cancela na razão, não precisamos do seu valor numérico.

Passo 3

Como as temperaturas mudam, volumes e densidades variam:
  • Para variação de temperatura pequena, o volume de um corpo cresce conforme a relação de dilatação volumétrica:
V(T+\Delta T)=V(T)\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente volumétrico (cada corpo tem seu \alpha).
  • Para o sólido: V_{s}'=V_{s0}\bigl(1+\alpha_{s}\Delta T\bigr), onde V_{s0} é o volume inicial do sólido.
  • Para o líquido a massa do líquido permanece a mesma, mas o volume do mesmo elemento de líquido aumenta por \alpha_{\ell}, então a densidade varia inversamente:
\rho_{\ell}'=\frac{\rho_{\ell0}}{1+\alpha_{\ell}\Delta T}.
Explicando por que: massa m=\rho V fixa-se; se V vira V(1+\alpha_{\ell}\Delta T), então \rho vira \rho/(1+\alpha_{\ell}\Delta T).

Passo 4

Escrever E_{0} e E' e formar a razão:
  • Empuxo inicial:
E_{0}=\rho_{\ell0}\,V_{s0}\,g.
  • Empuxo após aquecer:
E'=\rho_{\ell}'\,V_{s}'\,g =\frac{\rho_{\ell0}}{1+\alpha_{\ell}\Delta T}\;V_{s0}\bigl(1+\alpha_{s}\Delta T\bigr)\,g.
  • Portanto a razão é
\frac{E_{0}}{E'}=\frac{\rho_{\ell0}\,V_{s0}\,g}{\dfrac{\rho_{\ell0}}{1+\alpha_{\ell}\Delta T}\;V_{s0}\bigl(1+\alpha_{s}\Delta T\bigr)\,g} =\frac{1+\alpha_{\ell}\Delta T}{1+\alpha_{s}\Delta T}.

Passo 5

Aplicar a aproximação fornecida:
  • Usando a forma dada \dfrac{1+x}{1+y}\approx 1+x-y para x,y\ll1, identificamos
x=\alpha_{\ell}\Delta T,\qquad y=\alpha_{s}\Delta T.
  • Assim
\frac{E_{0}}{E'}\approx 1+\alpha_{\ell}\Delta T-\alpha_{s}\Delta T =1+(\alpha_{\ell}-\alpha_{s})\Delta T.
Comentário de verificação: aqui x=\alpha_{\ell}\Delta T=5{,}0\cdot10^{-4}\times100=0{,}05 e y=\alpha_{s}\Delta T=2{,}0\cdot10^{-5}\times100=0{,}002, ambos pequenos, então a aproximação linear é razoável.

Passo 6

Substituir os números e concluir:
  • Calcular a diferença de coeficientes:
\alpha_{\ell}-\alpha_{s}=5{,}0\cdot10^{-4}-2{,}0\cdot10^{-5}=4{,}8\cdot10^{-4}.
  • Multiplicar por \Delta T=100^\circ\mathrm{C}:
(\alpha_{\ell}-\alpha_{s})\Delta T=4{,}8\cdot10^{-4}\times100=4{,}8\cdot10^{-2}=0{,}048.
  • Portanto
\frac{E_{0}}{E'}\approx 1+0{,}048=1{,}048.
  • Comparando com as opções, 1{,}048 é superior a 1{,}03. Logo a alternativa correta é a (E).

Resposta

(E) superior a 1,03.

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