O conhecimento das características do meio em que a onda se propaga é fundamental, pois estas determinam significativamente o comportante da onda ao longo de sua propagação. Neste sentido, desenvolva um rotina computacional que de posse dos parâmetros contitutivos de um material ( \sigma, \varepsilon_{r}, \mu_{r} ) sejam plotados os valores de \alpha, \beta e \eta em função da frequência em escala logarítmica variando entre 1 Hz e 100 GHz . Teste sua rotina para os seguintes casos:
\sigma=0,10 \mathrm{~S} / \mathrm{m} ; \quad \varepsilon_{r}=4,0 ; \quad \mu_{r}=600,00

Passo 1

O enunciado pede que, dada a condutividade elétrica \sigma, a permissividade relativa \varepsilon_{r} e a permeabilidade relativa \mu_{r}, seja desenvolvida uma rotina que calcule e plote os valores de \alpha (constante de atenuação), \beta (constante de fase) e \eta (impedância intrínseca do meio) em função da frequência f variando em escala logarítmica entre 1\\ \mathrm{Hz} e 100\\ \mathrm{GHz}. Foi pedido que a rotina seja testada para:
\sigma=0{,}10\\ \mathrm{S/m},\qquad \varepsilon_{r}=4{,}0,\qquad \mu_{r}=600{,}00.
Informações e constantes que vou usar (valores SI padrão):
\varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Definições que serão calculadas (para cada frequência f):
\omega=2\pi f,\qquad \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_0,\qquad \mu=\mu_{r}\mu_0.
O objetivo final da rotina: produzir gráficos de \alpha(f), \beta(f) e |\eta(f)| (e opcionalmente a fase de \eta) para f\in[1,\;10^{11}]\\ \mathrm{Hz} (100 GHz = 10^{11}\\ \mathrm{Hz}).

Passo 2

Derivação das fórmulas que a rotina deve calcular — explicação didática e passo a passo.
  1. Propagação em meio homogêneo com condutividade \sigma, permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu:
A constante de propagação complexa \gamma é definida por
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)}.
  • Aqui \omega é a pulsação \omega=2\pi f (rad/s).
  • j é a unidade imaginária.
  • \alpha tem unidades \mathrm{Np/m} e representa a atenuação exponencial do campo ao longo do espaço.
  • \beta tem unidades \mathrm{rad/m} e está associada à variação de fase com a distância.
  1. Manipulação para obter \alpha e \beta em forma real (fórmulas úteis para cálculo numérico estável):
Defina a razão adimensional
X=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Então as componentes reais \alpha e imaginárias \beta de \gamma podem ser escritas (fórmulas padrão, fáceis de implementar) como
\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+X^{2}}-1},
\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+X^{2}}+1}.
Explicação das fórmulas: foram obtidas escrevendo o radicando em forma polar e separando as partes reais e imaginárias; essas expressões são numérica e algebraicamente estáveis para todo X (tanto regimes dielétrico \,X\ll1 quanto condutor \,X\gg1).
  1. Impedância intrínseca \eta do meio (reação entre campos elétrico e magnético no interior do meio):
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
É útil separar magnitude e fase. Com X=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon} e \eta_{\infty}=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} (impedância do meio sem perdas), temos:
|\eta|=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\left(1+X^{2}\right)^{-1/4},
\arg(\eta)=\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(X\bigr).
Observações físicas rápidas:
  • Regime condutor (bom condutor): X\gg1. Neste caso \alpha\approx\beta\approx\sqrt{\dfrac{\omega\mu\sigma}{2}} e \arg(\eta)\approx 45^\circ.
  • Regime dielétrico (bom dielétrico): X\ll1. Neste caso \alpha fica pequeno e \beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon} (onda quase sem perdas), \arg(\eta)\approx 0^\circ.

Passo 3

Como implementar a rotina (passo a passo para programar em Python + NumPy + Matplotlib). Aqui vai um esqueleto de código comentado (funcional e direto), que você pode copiar e rodar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# constantes
eps0 = 8.854187817e-12
mu0 = 4*np.pi*1e-7

# parâmetros do material (caso de teste)
sigma = 0.10          # S/m
eps_r = 4.0
mu_r = 600.0

eps = eps_r * eps0
mu = mu_r * mu0

# vetor de frequências (log spaced) de 1 Hz a 1e11 Hz (100 GHz)
f = np.logspace(0, 11, num=1000)   # 1000 pontos é razoável
omega = 2*np.pi*f

# cálculo vetorial usando as fórmulas estáveis
X = sigma / (omega * eps)            # adimensional
K = omega * np.sqrt(mu * eps / 2.0)  # fator comum

alpha = K * np.sqrt(np.sqrt(1.0 + X**2) - 1.0)
beta  = K * np.sqrt(np.sqrt(1.0 + X**2) + 1.0)

# impedância intrínseca (complexa) e magnitude/fase
eta_complex = np.sqrt( (1j*omega*mu) / (sigma + 1j*omega*eps) )
eta_mag = np.abs(eta_complex)
eta_phase = np.angle(eta_complex)    # em radianos

# plotagem (frequência em escala log)
plt.figure()
plt.semilogx(f, alpha, label='alpha (Np/m)')
plt.semilogx(f, beta, label='beta (rad/m)')
plt.xlabel('f (Hz)')
plt.ylabel('Valor')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--')

plt.figure()
plt.semilogx(f, eta_mag, label='|eta| (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.degrees(eta_phase), label='arg(eta) (deg)')
plt.xlabel('f (Hz)')
plt.ylabel('Impedância')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--')

plt.show()
Dicas de implementação:
  • Use vetorização (NumPy) para eficiência.
  • Para visualização, exiba \alpha e \beta em escalas logarítmicas se os valores variarem muito; pode plotar \log_{10}(\alpha) ou usar eixos y log.
  • Convertendo fases para graus use np.degrees(...).

Passo 4

Teste numérico da rotina para alguns pontos representativos (vou calcular passo a passo para f=1\\ \mathrm{Hz},\\\ 10^{3}\\ \mathrm{Hz},\\\ 10^{6}\\ \mathrm{Hz},\\\ 10^{9}\\ \mathrm{Hz},\\\ 10^{11}\\ \mathrm{Hz} para dar uma sensação do comportamento). Valores usados:
\varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12},\quad \mu_0=4\pi\times10^{-7},
\varepsilon=4\varepsilon_0=3{,}5416751268\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}, \quad \mu=600\mu_0=7{,}5398223684\times10^{-4}\\ \mathrm{H/m}.
Agora os resultados numéricos (valores arredondados com 3–4 algarismos significativos) obtidos com as fórmulas do Passo 2:
  • Para f=1\\ \mathrm{Hz} ( \omega=2\pi): \alpha\approx0{,}01540\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx0{,}01540\\ \mathrm{rad/m},
|\eta|\approx0{,}2176\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx45{,}00^\circ.
Interpretação: comportamento de condutor (razão \sigma/(\omega\varepsilon) enorme).
  • Para f=10^{3}\\ \mathrm{Hz} ( 1\\ \mathrm{kHz}): \alpha\approx0{,}4869\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx0{,}4869\\ \mathrm{rad/m},
|\eta|\approx6{,}885\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx45{,}00^\circ.
  • Para f=10^{6}\\ \mathrm{Hz} ( 1\\ \mathrm{MHz}): \alpha\approx15{,}395\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx15{,}395\\ \mathrm{rad/m},
|\eta|\approx217{,}7\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx44{,}94^\circ.
  • Para f=10^{9}\\ \mathrm{Hz} ( 1\\ \mathrm{GHz}): \alpha\approx225{,}6\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx1052{,}7\\ \mathrm{rad/m},
|\eta|\approx4{,}41\times10^{3}\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx12{,}1^\circ.
  • Para f=10^{11}\\ \mathrm{Hz} ( 100\\ \mathrm{GHz}): \alpha\approx230{,}8\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx1{,}03\times10^{5}\\ \mathrm{rad/m},
|\eta|\approx4{,}613\times10^{3}\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx0{,}129^\circ.
Comentário sobre esses números:
  • Em baixas frequências o termo \sigma domina ( X\gg1) e o meio se comporta como condutor (atenuação e fase aproximadamente iguais, \arg(\eta)\approx45^\circ).
  • Em altas frequências o termo \omega\varepsilon domina ( X\ll1) e o meio tende ao comportamento dielétrico (pequena fase da impedância e \beta grande ~ proporcional a \omega\sqrt{\mu\varepsilon}).
  • Há uma região de transição (aqui por volta de alguns centenas de MHz a poucos GHz) onde o comportamento muda de condutor para dielétrico, o que aparece claramente nos gráficos se você rodar a rotina.

Passo 5

Instruções finais e sugestões para uso na prova e para interpretação rápida:
  • Se precisar de resultados impressos (tabelas), calcule os vetores e mostre alguns pontos-chaves em escala log (como eu fiz para 1 Hz, 1 kHz, 1 MHz, 1 GHz, 100 GHz).
  • Para checar rapidamente se está no regime condutor ou dielétrico avalie X=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}:
    • X\gg1 → condutor;
    • X\ll1 → dielétrico.
  • Para estimar a profundidade de penetração (skin depth) use
\delta=\frac{1}{\alpha},
em metros; isso dá a distância na qual o campo decai por um fator e.
  • No enunciado do teste, salve os resultados em imagem (PNG) ou imprima as tabelas de pontos caso a prova exija valores numéricos.

Resposta

f=1\\ \mathrm{Hz}:\\ \alpha\approx0{,}01540\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx0{,}01540\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx0{,}2176\angle45{,}00^\circ\\ \Omega
f=10^{3}\\ \mathrm{Hz}:\\ \alpha\approx0{,}4869\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx0{,}4869\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx6{,}885\angle45{,}00^\circ\\ \Omega
f=10^{6}\\ \mathrm{Hz}:\\ \alpha\approx15{,}395\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx15{,}395\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx217{,}7\angle44{,}94^\circ\\ \Omega
f=10^{9}\\ \mathrm{Hz}:\\ \alpha\approx225{,}6\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx1052{,}7\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx4{,}41\times10^{3}\angle12{,}1^\circ\\ \Omega
f=10^{11}\\ \mathrm{Hz}:\\ \alpha\approx230{,}8\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx1{,}03\times10^{5}\\ \mathrm{rad/m},\\ \eta\approx4{,}613\times10^{3}\angle0{,}129^\circ\\ \Omega

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