O conhecimento das características do meio em que a onda se propaga é fundamental, pois estas determinam significativamente o comportante da onda ao longo de sua propagação. Neste sentido, desenvolva um rotina computacional que de posse dos parâmetros contitutivos de um material (
) sejam plotados os valores de
e
em função da frequência em escala logarítmica variando entre 1 Hz e 100 GHz . Teste sua rotina para os seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede que, dada a condutividade elétrica
, a permissividade relativa
e a permeabilidade relativa
, seja desenvolvida uma rotina que calcule e plote os valores de
(constante de atenuação),
(constante de fase) e
(impedância intrínseca do meio) em função da frequência
variando em escala logarítmica entre
e
. Foi pedido que a rotina seja testada para:
Informações e constantes que vou usar (valores SI padrão):
Definições que serão calculadas (para cada frequência
):
O objetivo final da rotina: produzir gráficos de
,
e
(e opcionalmente a fase de
) para
(100 GHz =
).
Passo 2
Derivação das fórmulas que a rotina deve calcular — explicação didática e passo a passo.
- Propagação em meio homogêneo com condutividade
, permissividade e permeabilidade :
A constante de propagação complexa
é definida por
- Aqui
é a pulsação (rad/s). -
é a unidade imaginária. -
tem unidades e representa a atenuação exponencial do campo ao longo do espaço. -
tem unidades e está associada à variação de fase com a distância.
- Manipulação para obter
e em forma real (fórmulas úteis para cálculo numérico estável):
Defina a razão adimensional
Então as componentes reais
e imaginárias
de
podem ser escritas (fórmulas padrão, fáceis de implementar) como
Explicação das fórmulas: foram obtidas escrevendo o radicando em forma polar e separando as partes reais e imaginárias; essas expressões são numérica e algebraicamente estáveis para todo
(tanto regimes dielétrico
quanto condutor
).
- Impedância intrínseca
do meio (reação entre campos elétrico e magnético no interior do meio):
É útil separar magnitude e fase. Com
e
(impedância do meio sem perdas), temos:
Observações físicas rápidas:
- Regime condutor (bom condutor):
. Neste caso e . - Regime dielétrico (bom dielétrico):
. Neste caso fica pequeno e (onda quase sem perdas), .
Passo 3
Como implementar a rotina (passo a passo para programar em Python + NumPy + Matplotlib). Aqui vai um esqueleto de código comentado (funcional e direto), que você pode copiar e rodar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# constantes
eps0 = 8.854187817e-12
mu0 = 4*np.pi*1e-7
# parâmetros do material (caso de teste)
sigma = 0.10 # S/m
eps_r = 4.0
mu_r = 600.0
eps = eps_r * eps0
mu = mu_r * mu0
# vetor de frequências (log spaced) de 1 Hz a 1e11 Hz (100 GHz)
f = np.logspace(0, 11, num=1000) # 1000 pontos é razoável
omega = 2*np.pi*f
# cálculo vetorial usando as fórmulas estáveis
X = sigma / (omega * eps) # adimensional
K = omega * np.sqrt(mu * eps / 2.0) # fator comum
alpha = K * np.sqrt(np.sqrt(1.0 + X**2) - 1.0)
beta = K * np.sqrt(np.sqrt(1.0 + X**2) + 1.0)
# impedância intrínseca (complexa) e magnitude/fase
eta_complex = np.sqrt( (1j*omega*mu) / (sigma + 1j*omega*eps) )
eta_mag = np.abs(eta_complex)
eta_phase = np.angle(eta_complex) # em radianos
# plotagem (frequência em escala log)
plt.figure()
plt.semilogx(f, alpha, label='alpha (Np/m)')
plt.semilogx(f, beta, label='beta (rad/m)')
plt.xlabel('f (Hz)')
plt.ylabel('Valor')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--')
plt.figure()
plt.semilogx(f, eta_mag, label='|eta| (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.degrees(eta_phase), label='arg(eta) (deg)')
plt.xlabel('f (Hz)')
plt.ylabel('Impedância')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--')
plt.show()
Dicas de implementação:
- Use vetorização (NumPy) para eficiência.
- Para visualização, exiba
e em escalas logarítmicas se os valores variarem muito; pode plotar ou usar eixos y log. - Convertendo fases para graus use
np.degrees(...).
Passo 4
Teste numérico da rotina para alguns pontos representativos (vou calcular passo a passo para
para dar uma sensação do comportamento). Valores usados:
Agora os resultados numéricos (valores arredondados com 3–4 algarismos significativos) obtidos com as fórmulas do Passo 2:
- Para
( ):
Interpretação: comportamento de condutor (razão
enorme).
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
Comentário sobre esses números:
- Em baixas frequências o termo
domina ( ) e o meio se comporta como condutor (atenuação e fase aproximadamente iguais, ). - Em altas frequências o termo
domina ( ) e o meio tende ao comportamento dielétrico (pequena fase da impedância e grande ~ proporcional a ). - Há uma região de transição (aqui por volta de alguns centenas de MHz a poucos GHz) onde o comportamento muda de condutor para dielétrico, o que aparece claramente nos gráficos se você rodar a rotina.
Passo 5
Instruções finais e sugestões para uso na prova e para interpretação rápida:
- Se precisar de resultados impressos (tabelas), calcule os vetores e mostre alguns pontos-chaves em escala log (como eu fiz para 1 Hz, 1 kHz, 1 MHz, 1 GHz, 100 GHz).
- Para checar rapidamente se está no regime condutor ou dielétrico avalie
: -
→ condutor; -
→ dielétrico.
-
- Para estimar a profundidade de penetração (skin depth) use
em metros; isso dá a distância na qual o campo decai por um fator
.
- No enunciado do teste, salve os resultados em imagem (PNG) ou imprima as tabelas de pontos caso a prova exija valores numéricos.