O conhecimento das características do meio em que a onda se propaga é fundamental, pois estas determinam significativamente o comportante da onda ao longo de sua propagação. Neste sentido, desenvolva um rotina computacional que de posse dos parâmetros contitutivos de um material ( \sigma, \varepsilon_{r}, \mu_{r} ) sejam plotados os valores de \alpha, \beta e \eta em função da frequência em escala logarítmica variando entre 1 Hz e 100 GHz . Teste sua rotina para os seguintes casos:
\sigma=0,00964 \mathrm{~S} / \mathrm{m} ; \varepsilon_{r}=1,0 ; \quad \mu_{r}=100,00

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede que eu desenvolva uma rotina computacional que, dado os parâmetros constitutivos do material, plote em função da frequência (escala logarítmica de 1\\ \mathrm{Hz} até 100\\ \mathrm{GHz}):
    • a constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m}),
    • a constante de fase \beta (em \mathrm{rad/m}),
    • a impedância intrínseca \eta (em \Omega, geralmente complexa).
  • Os parâmetros fornecidos para o teste são:
    • \sigma=0{,}00964\\ \mathrm{S/m},
    • \varepsilon_{r}=1{,}0,
    • \mu_{r}=100{,}00.
Informações úteis implícitas (unidades SI necessárias):
  • Permissividade do vácuo \varepsilon_{0}=8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Permeabilidade do vácuo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Frequência será variada entre f_{\min}=1\\ \mathrm{Hz} e f_{\max}=100\\ \mathrm{GHz}=10^{11}\\ \mathrm{Hz} em escala logarítmica.
O enunciado pede explicitamente os gráficos; portanto a rotina deve calcular \alpha(f), \beta(f), \eta(f) e produzir plots (e.g., com eixos em escala logarítmica no eixo das frequências).

Passo 2

Formulas físicas fundamentais e significado das grandezas (aulas rápidas).
  • A frequência angular é \omega=2\pi f, onde f é a frequência em \mathrm{Hz}.
  • A permissividade do material é \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}. Aqui \varepsilon tem unidade \mathrm{F/m}.
  • A permeabilidade do material é \mu=\mu_{r}\mu_{0}. Aqui \mu tem unidade \mathrm{H/m}.
  • A constante de propagação complexa (chamada \gamma) é
\gamma=\alpha + j\beta = \sqrt{\,j\omega\mu\left(\sigma + j\omega\varepsilon\right)\,}.
  • Nesta fórmula:
    • \sigma é a condutividade elétrica em \mathrm{S/m}.
    • j é a unidade imaginária.
    • \alpha=\Re(\gamma) é a parte real: atenuação em \mathrm{Np/m}.
    • \beta=\Im(\gamma) é a parte imaginária: constante de fase em \mathrm{rad/m}.
  • A impedância intrínseca é
\eta = \sqrt{\,\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}\,}.
  • \eta é geralmente complexa; pode ser representada por sua parte real e imaginária, ou por magnitude e ângulo.
Observações didáticas rápidas:
  • A raiz quadrada de número complexo usa a determinação principal (o que bibliotecas científicas como NumPy fazem por padrão). O resultado fornece \alpha e \beta conforme definidas acima.
  • Em baixas frequências, se \sigma \gg \omega\varepsilon (regime condutor), as expressões se aproximam de fórmulas simplificadas; em altas frequências, se \omega\varepsilon \gg \sigma (regime dielétrico), a expressão tende a \gamma\approx j\omega\sqrt{\mu\varepsilon} e \eta\approx\sqrt{\mu/\varepsilon}. Vou explicar essas aproximações mais adiante (úteis na prova).

Passo 3

Plano da rotina computacional (algoritmo passo a passo).
  1. Fixar os parâmetros do material: \sigma, \varepsilon_{r}, \mu_{r}.
  2. Calcular \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} e \mu=\mu_{r}\mu_{0}.
  3. Criar um vetor de frequências f em escala logarítmica entre 1 e 10^{11} (100 GHz). Ex.: usar N pontos (por exemplo N=1000) com logspace.
  4. Para cada frequência calcular \omega=2\pi f.
  5. Calcular o campo complexo S(\omega)=\sigma + j\omega\varepsilon.
  6. Calcular T(\omega)=j\omega\mu.
  7. Calcular \gamma(\omega)=\sqrt{T(\omega)\,S(\omega)}. Em código: usar a sqrt de números complexos.
  8. Extrair \alpha(\omega)=\Re(\gamma(\omega)) e \beta(\omega)=\Im(\gamma(\omega)).
  9. Calcular \eta(\omega)=\sqrt{T(\omega)/S(\omega)}. Guardar tanto \Re(\eta) e \Im(\eta) quanto |\eta| e \angle\eta se desejar.
  10. Plotar:
  • Em um gráfico: \alpha e \beta versus f (eixo x em escala log).
  • Em outro gráfico: \Re(\eta), \Im(\eta) ou |\eta| e \angle\eta versus f.
  1. Ajustes gráficos: labels, legendas, escala logarítmica no eixo x, grid, etc.
  2. Salvar ou mostrar os gráficos.
Vou agora fornecer um código concreto em Python (fácil de rodar) que implementa esse algoritmo.

Passo 4

Código Python comentado (rotina completa). Copie e cole num arquivo e rode com Python 3 e as bibliotecas numpy e matplotlib instaladas.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros do material (teste)
sigma = 0.00964            # S/m
epsilon_r = 1.0
mu_r = 100.0

# Constantes do vácuo
epsilon_0 = 8.8541878128e-12   # F/m
mu_0 = 4*np.pi*1e-7            # H/m

# Propriedades do material
epsilon = epsilon_r * epsilon_0
mu = mu_r * mu_0

# Vetor de frequências (logspace de 1 Hz a 1e11 Hz)
N = 1000
f = np.logspace(0, 11, N)      # 10^0 = 1 Hz, 10^11 = 100 GHz
omega = 2 * np.pi * f

# Calcula os termos complexos
S = sigma + 1j * omega * epsilon    # sigma + j omega epsilon
T = 1j * omega * mu                 # j omega mu

# Constante de propagação gamma = sqrt(T * S)
gamma = np.sqrt(T * S)

# Extrai alpha e beta
alpha = np.real(gamma)   # Np/m
beta = np.imag(gamma)    # rad/m

# Impedância intrínseca eta = sqrt(T / S)
eta = np.sqrt(T / S)     # pode ser complexo

# Plots
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.loglog(f, np.maximum(alpha, 1e-300), label=r'\(\alpha\) (Np/m)')
plt.loglog(f, np.maximum(np.abs(beta), 1e-300), label=r'\(\beta\) (rad/m)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Valor')
plt.title('Constantes de propagação vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(f, np.real(eta), label=r'Re(\(\eta\)) (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.imag(eta), label=r'Im(\(\eta\)) (Ohm)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Impedância intrínseca (Ohm)')
plt.title('Impedância intrínseca vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(f, np.abs(eta), label=r'\(|\eta|\) (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.angle(eta, deg=True), label=r'\(\angle \eta\) (graus)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude / Fase')
plt.title('Magnitude e fase de eta vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()

plt.show()

# Para inspecionar valores em frequências específicas:
for freq in [1.0, 1e3, 1e6, 1e9, 1e11]:
    om = 2*np.pi*freq
    S_val = sigma + 1j*om*epsilon
    T_val = 1j*om*mu
    gamma_val = np.sqrt(T_val * S_val)
    eta_val = np.sqrt(T_val / S_val)
    print(f"f = {freq:.3e} Hz: alpha = {np.real(gamma_val):.6e} Np/m, beta = {np.imag(gamma_val):.6e} rad/m, eta = {eta_val:.6e}")
Comentário sobre o código:
  • Usei proteção com np.maximum ao plotar em loglog para evitar problemas quando valores forem zero ou muito pequenos.
  • A rotina calcula \alpha, \beta, \eta para todas as frequências em vetor e plota três figuras: (1) \alpha e \beta (em log-log), (2) partes real e imaginária de \eta (semilog-x), (3) magnitude e fase de \eta (semilog-x).
  • A última parte imprime valores pontuais em frequências de interesse (1 Hz, 10^3 Hz, 10^6 Hz, 10^9 Hz, 10^{11} Hz).

Passo 5

Explicações numéricas/analíticas úteis para a prova (aproximações e intuição).
  • Regime condutor (baixas frequências): se \sigma \gg \omega\varepsilon, então
\gamma \approx \sqrt{j\omega\mu\sigma} = (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
  • Assim \alpha\approx\beta\approx\sqrt{\dfrac{\omega\mu\sigma}{2}}. A impedância aproxima-se de
\eta \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
  • Interpretação: atenuação e fase crescem com \sqrt{\omega}; \eta tem fase de +45^\circ e magnitude proporcional a \sqrt{\omega}.
  • Regime dielétrico (altas frequências): se \omega\varepsilon \gg \sigma, então
\gamma \approx j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}, \qquad \eta \approx \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
  • Interpretação: \alpha tende a zero (ou muito pequeno), \beta cresce linearmente com \omega, e \eta tende a um valor real (a impedância do meio \sqrt{\mu/\varepsilon}).
  • Essas aproximações são úteis na prova para estimar ordens de grandeza sem cálculos pesados.

Passo 6

Testando a rotina para o caso dado — resultados numéricos pontuais (verificação rápida).
Vou mostrar aqui alguns valores de teste calculados com as mesmas fórmulas para as frequências f=1\\ \mathrm{Hz} e f=100\\ \mathrm{GHz}=10^{11}\\ \mathrm{Hz}. Estes valores foram obtidos usando as fórmulas do Passo 2 com os parâmetros dados.
  • Para f=1\\ \mathrm{Hz}:
    • \omega=2\pi\cdot1\\ \mathrm{rad/s}.
    • Resultados (aproximações numéricas):
      • \alpha \approx 0{,}001951\\ \mathrm{Np/m}.
      • \beta \approx 0{,}001951\\ \mathrm{rad/m}.
      • \eta \approx 0{,}2025 + j\,0{,}2025\\ \Omega (módulo |\eta|\approx 0{,}2863\\ \Omega, ângulo \approx 45^\circ).
  • Para f=100\\ \mathrm{GHz} = 10^{11}\\ \mathrm{Hz}:
    • \omega=2\pi\cdot10^{11}\\ \mathrm{rad/s}.
    • Resultados (aproximações numéricas):
      • \alpha \approx 18{,}17\\ \mathrm{Np/m}.
      • \beta \approx 2{,}0954\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}.
      • \eta \approx 3{,}767{,}3\\ \Omega (praticamente real; corresponde a \sqrt{\mu/\varepsilon} porque estamos no regime dielétrico).
Observações:
  • Em 1\\ \mathrm{Hz} o material se comporta mais como condutor (a condutividade domina) — \alpha e \beta são pequenos e aproximadamente iguais; \eta tem fase cerca de 45^\circ.
  • Em 100\\ \mathrm{GHz} o termo \omega\varepsilon domina sobre \sigma e o meio age como um dielétrico magnético com \mu_{r}=100: \eta aproxima-se de \sqrt{\mu/\varepsilon}\approx10\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 10\cdot376{,}73\\ \Omega\approx3767{,}3\\ \Omega.

Passo 7

Dicas para a prova e uso prático (resumo rápido e incentivo).
  • Se na prova pedirem apenas comportamento qualitativo: verifique a razão \sigma/(\omega\varepsilon). Se essa razão é muito maior que 1, o meio é condutor; se muito menor que 1, é dielétrico.
  • Use as aproximações do Passo 5 para obter expressões simples em termos de \omega,\mu,\sigma,\varepsilon.
  • Para cálculos numéricos em prova escrita sem máquina, calcule ordens de grandeza: por exemplo, calcule \omega\varepsilon e compare com \sigma.
  • Força! Se faltar tempo, escreva as fórmulas exatas (Passo 2) e explique qual termo domina — isso costuma dar boa parte dos pontos.

Resposta

Para o caso \sigma=0{,}00964\\ \mathrm{S/m}, \varepsilon_{r}=1{,}0, \mu_{r}=100{,}00:
f = 1\\ \mathrm{Hz}:
alpha = 0{,}001951\\ \mathrm{Np/m}
beta = 0{,}001951\\ \mathrm{rad/m}
eta = 0{,}2025 + j\,0{,}2025\\ \Omega (módulo \approx 0{,}2863\\ \Omega, ângulo \approx 45^\circ)
f = 100\\ \mathrm{GHz} ( 10^{11}\\ \mathrm{Hz}):
alpha = 18{,}17\\ \mathrm{Np/m}
beta = 2{,}0954\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}
eta = 3{,}767{,}3\\ \Omega (praticamente real, \approx\sqrt{\mu/\varepsilon}).

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