O conhecimento das características do meio em que a onda se propaga é fundamental, pois estas determinam significativamente o comportante da onda ao longo de sua propagação. Neste sentido, desenvolva um rotina computacional que de posse dos parâmetros contitutivos de um material (
) sejam plotados os valores de
e
em função da frequência em escala logarítmica variando entre 1 Hz e 100 GHz . Teste sua rotina para os seguintes casos:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado pede que eu desenvolva uma rotina computacional que, dado os parâmetros constitutivos do material, plote em função da frequência (escala logarítmica de
até ): - a constante de atenuação
(em ), - a constante de fase
(em ), - a impedância intrínseca
(em , geralmente complexa).
- a constante de atenuação
- Os parâmetros fornecidos para o teste são:
-
, -
, -
.
-
Informações úteis implícitas (unidades SI necessárias):
- Permissividade do vácuo
. - Permeabilidade do vácuo
. - Frequência será variada entre
e em escala logarítmica.
O enunciado pede explicitamente os gráficos; portanto a rotina deve calcular
,
,
e produzir plots (e.g., com eixos em escala logarítmica no eixo das frequências).
Passo 2
Formulas físicas fundamentais e significado das grandezas (aulas rápidas).
- A frequência angular é
, onde é a frequência em . - A permissividade do material é
. Aqui tem unidade . - A permeabilidade do material é
. Aqui tem unidade . - A constante de propagação complexa (chamada
) é
- Nesta fórmula:
-
é a condutividade elétrica em . -
é a unidade imaginária. -
é a parte real: atenuação em . -
é a parte imaginária: constante de fase em .
-
- A impedância intrínseca é
-
é geralmente complexa; pode ser representada por sua parte real e imaginária, ou por magnitude e ângulo.
Observações didáticas rápidas:
- A raiz quadrada de número complexo usa a determinação principal (o que bibliotecas científicas como NumPy fazem por padrão). O resultado fornece
e conforme definidas acima. - Em baixas frequências, se
(regime condutor), as expressões se aproximam de fórmulas simplificadas; em altas frequências, se (regime dielétrico), a expressão tende a e . Vou explicar essas aproximações mais adiante (úteis na prova).
Passo 3
Plano da rotina computacional (algoritmo passo a passo).
- Fixar os parâmetros do material:
. - Calcular
e . - Criar um vetor de frequências
em escala logarítmica entre e (100 GHz). Ex.: usar pontos (por exemplo ) com logspace. - Para cada frequência calcular
. - Calcular o campo complexo
. - Calcular
. - Calcular
. Em código: usar a sqrt de números complexos. - Extrair
e . - Calcular
. Guardar tanto e quanto e se desejar. - Plotar:
- Em um gráfico:
e versus (eixo em escala log). - Em outro gráfico:
, ou e versus .
- Ajustes gráficos: labels, legendas, escala logarítmica no eixo
, grid, etc. - Salvar ou mostrar os gráficos.
Vou agora fornecer um código concreto em Python (fácil de rodar) que implementa esse algoritmo.
Passo 4
Código Python comentado (rotina completa). Copie e cole num arquivo e rode com Python 3 e as bibliotecas numpy e matplotlib instaladas.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros do material (teste)
sigma = 0.00964 # S/m
epsilon_r = 1.0
mu_r = 100.0
# Constantes do vácuo
epsilon_0 = 8.8541878128e-12 # F/m
mu_0 = 4*np.pi*1e-7 # H/m
# Propriedades do material
epsilon = epsilon_r * epsilon_0
mu = mu_r * mu_0
# Vetor de frequências (logspace de 1 Hz a 1e11 Hz)
N = 1000
f = np.logspace(0, 11, N) # 10^0 = 1 Hz, 10^11 = 100 GHz
omega = 2 * np.pi * f
# Calcula os termos complexos
S = sigma + 1j * omega * epsilon # sigma + j omega epsilon
T = 1j * omega * mu # j omega mu
# Constante de propagação gamma = sqrt(T * S)
gamma = np.sqrt(T * S)
# Extrai alpha e beta
alpha = np.real(gamma) # Np/m
beta = np.imag(gamma) # rad/m
# Impedância intrínseca eta = sqrt(T / S)
eta = np.sqrt(T / S) # pode ser complexo
# Plots
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.loglog(f, np.maximum(alpha, 1e-300), label=r'\(\alpha\) (Np/m)')
plt.loglog(f, np.maximum(np.abs(beta), 1e-300), label=r'\(\beta\) (rad/m)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Valor')
plt.title('Constantes de propagação vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(f, np.real(eta), label=r'Re(\(\eta\)) (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.imag(eta), label=r'Im(\(\eta\)) (Ohm)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Impedância intrínseca (Ohm)')
plt.title('Impedância intrínseca vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.semilogx(f, np.abs(eta), label=r'\(|\eta|\) (Ohm)')
plt.semilogx(f, np.angle(eta, deg=True), label=r'\(\angle \eta\) (graus)')
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude / Fase')
plt.title('Magnitude e fase de eta vs frequência')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.tight_layout()
plt.show()
# Para inspecionar valores em frequências específicas:
for freq in [1.0, 1e3, 1e6, 1e9, 1e11]:
om = 2*np.pi*freq
S_val = sigma + 1j*om*epsilon
T_val = 1j*om*mu
gamma_val = np.sqrt(T_val * S_val)
eta_val = np.sqrt(T_val / S_val)
print(f"f = {freq:.3e} Hz: alpha = {np.real(gamma_val):.6e} Np/m, beta = {np.imag(gamma_val):.6e} rad/m, eta = {eta_val:.6e}")
Comentário sobre o código:
- Usei proteção com np.maximum ao plotar em loglog para evitar problemas quando valores forem zero ou muito pequenos.
- A rotina calcula
para todas as frequências em vetor e plota três figuras: (1) e (em log-log), (2) partes real e imaginária de (semilog-x), (3) magnitude e fase de (semilog-x). - A última parte imprime valores pontuais em frequências de interesse (1 Hz,
Hz, Hz, Hz, Hz).
Passo 5
Explicações numéricas/analíticas úteis para a prova (aproximações e intuição).
- Regime condutor (baixas frequências): se
, então
- Assim
. A impedância aproxima-se de
-
Interpretação: atenuação e fase crescem com
; tem fase de e magnitude proporcional a . -
Regime dielétrico (altas frequências): se
, então
-
Interpretação:
tende a zero (ou muito pequeno), cresce linearmente com , e tende a um valor real (a impedância do meio ). -
Essas aproximações são úteis na prova para estimar ordens de grandeza sem cálculos pesados.
Passo 6
Testando a rotina para o caso dado — resultados numéricos pontuais (verificação rápida).
Vou mostrar aqui alguns valores de teste calculados com as mesmas fórmulas para as frequências
e
. Estes valores foram obtidos usando as fórmulas do Passo 2 com os parâmetros dados.
-
Para
: -
. - Resultados (aproximações numéricas):
-
. -
. -
(módulo , ângulo ).
-
-
-
Para
: -
. - Resultados (aproximações numéricas):
-
. -
. -
(praticamente real; corresponde a porque estamos no regime dielétrico).
-
-
Observações:
- Em
o material se comporta mais como condutor (a condutividade domina) — e são pequenos e aproximadamente iguais; tem fase cerca de . - Em
o termo domina sobre e o meio age como um dielétrico magnético com : aproxima-se de .
Passo 7
Dicas para a prova e uso prático (resumo rápido e incentivo).
- Se na prova pedirem apenas comportamento qualitativo: verifique a razão
. Se essa razão é muito maior que , o meio é condutor; se muito menor que , é dielétrico. - Use as aproximações do Passo 5 para obter expressões simples em termos de
. - Para cálculos numéricos em prova escrita sem máquina, calcule ordens de grandeza: por exemplo, calcule
e compare com . - Força! Se faltar tempo, escreva as fórmulas exatas (Passo 2) e explique qual termo domina — isso costuma dar boa parte dos pontos.
Resposta
Para o caso
,
,
:
f =
:
alpha =
beta =
eta = (módulo
, ângulo
)
alpha =
beta =
eta =
f =
(
):
alpha =
beta =
eta = (praticamente real,
).
alpha =
beta =
eta =