Um conjunto de aço A-36 consiste em um tubo com raio externo de 25 mm e espessura de parede de 3 mm . Com uma chapa rigida em B, ele está conectado ao eixo maciço A B de 25 mm de diâmetro. Determine a rotação da extremidade C do tubo se um torque de 25 Nm nela é aplicada. A extremidade A do eixo tem apoio fixo. \mathrm{G}=75 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede a rotação (ângulo de torção) da extremidade C do tubo quando um torque de 25\\ \text{N}\cdot\text{m} é aplicado em C. A extremidade A do eixo está fixa. Informações dadas (tiradas do enunciado/imagem):
  • Torque aplicado: T=25\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Módulo de cisalhamento: G=75\\ \text{GPa}=75\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Tubo: raio externo R=25\\ \text{mm}, espessura da parede t=3\\ \text{mm} → raio interno r=R-t=22\\ \text{mm}.
  • Eixo maciço (sólido): diâmetro d=25\\ \text{mm} → raio a=d/2=12{,}5\\ \text{mm}.
  • Comprimentos (da figura): A até C = 150\\ \text{mm}, C até B = 100\\ \text{mm}. Assim o eixo sólido A\!-\!B tem comprimento L_{\text{eixo}}=150+100=250\\ \text{mm} e o trecho do tubo B\!-\!C tem comprimento L_{\text{tubo}}=100\\ \text{mm}.
    Objetivo final: encontrar a rotação de C em relação a A (ponto A fixo).

Passo 2

Entendimento físico e escolha do método. O tubo é ligado rigidamente ao eixo no ponto B; portanto o torque aplicado em C é transmitido para o eixo em B e, por reação em A, há torsão no conjunto. A rotação da extremidade C (em relação a A) é a soma da rotação do eixo entre A e B e da rotação do tubo entre B e C. Para cada elemento cilíndrico sujeito a torque T e com módulo de cisalhamento G e momento polar de inércia J, o ângulo de torção é dado por:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde
  • \varphi é o ângulo de torção (rad),
  • T é o torque (N·m),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • G é o módulo de cisalhamento (Pa),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (m^4).
    Portanto:
\phi_C=\phi_{\text{eixo }A\!-\!B}+\phi_{\text{tubo }B\!-\!C} =\frac{T\,L_{\text{eixo}}}{G\,J_{\text{eixo}}}+\frac{T\,L_{\text{tubo}}}{G\,J_{\text{tubo}}}.

Passo 3

Cálculo dos momentos polares de inércia J.
  • Para eixo maciço circular (diâmetro d):
J_{\text{eixo}}=\frac{\pi}{32}\,d^{4}.
Converter d=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m} e calcular:
d^{4}=(0{,}025)^{4}=3{,}90625\times10^{-7}\\ \text{m}^{4},
J_{\text{eixo}}=\frac{\pi}{32}\times3{,}90625\times10^{-7} \approx 3{,}83495\times10^{-8}\\ \text{m}^{4}.
  • Para o tubo circular (diâmetro externo D_o=2R, interno D_i=2r):
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi}{32}\left(D_{o}^{4}-D_{i}^{4}\right) =\frac{\pi}{2}\left(R^{4}-r^{4}\right).
Converter R=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m} e r=22\\ \text{mm}=0{,}022\\ \text{m}:
R^{4}=(0{,}025)^{4}=3{,}90625\times10^{-7}, \quad r^{4}=(0{,}022)^{4}=2{,}34256\times10^{-7},
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi}{2}\left(3{,}90625\times10^{-7}-2{,}34256\times10^{-7}\right) \approx 2{,}45339\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Converter comprimentos para metros e calcular os termos \dfrac{T\,L}{GJ}.
Dados convertidos:
L_{\text{eixo}}=250\\ \text{mm}=0{,}250\\ \text{m},\qquad L_{\text{tubo}}=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m},
G=75\\ \text{GPa}=75\times10^{9}\\ \text{Pa},\qquad T=25\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Torção do eixo A\!-\!B:
\phi_{\text{eixo}}=\frac{T\,L_{\text{eixo}}}{G\,J_{\text{eixo}}} =\frac{25\times0{,}250}{75\times10^{9}\times 3{,}83495\times10^{-8}} =\frac{6{,}25}{2876{,}21325}\approx 0{,}0021731\\ \text{rad}.
  • Torção do tubo B\!-\!C:
\phi_{\text{tubo}}=\frac{T\,L_{\text{tubo}}}{G\,J_{\text{tubo}}} =\frac{25\times0{,}100}{75\times10^{9}\times 2{,}45339\times10^{-7}} =\frac{2{,}5}{18400{,}41}\approx 0{,}00013586\\ \text{rad}.

Passo 5

Somar as contribuições para obter a rotação total da extremidade C (em relação a A):
\phi_{C}=\phi_{\text{eixo}}+\phi_{\text{tubo}} \approx 0{,}0021731+0{,}00013586=0{,}00230896\\ \text{rad}.
Converter para graus (opcional):
\phi_{C}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}00230896\times57{,}2958\approx 0{,}1323^\circ.

Resposta

0,002309\\ \text{rad}
0,1323^\circ

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