O eixo vazado de aço A-36 tem 2 m de comprimento e diâmetro externo de 40 mm . Quando está girando a 80 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, transmite 32 kN de potência do motor M para o gerador G. Determine a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for \tau_{\mathrm{adm}}=140 \mathrm{MPa} e se este eixo é restrito para não torcer mais de 0,05 \mathrm{rad} . \mathrm{G}=75 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a menor espessura do eixo vazado (espessura da parede) de comprimento 2\\ \mathrm{m} e diâmetro externo 40\\ \mathrm{mm}, quando o eixo gira a \,80\\ \mathrm{rad/s} e transmite potência 32\\ \mathrm{kW} do motor para o gerador. As restrições são: tensão de cisalhamento admissível \tau_{\mathrm{adm}}=140\\ \mathrm{MPa} e torção máxima permitida \theta_{\max}=0{,}05\\ \mathrm{rad}. Módulo de elasticidade ao cisalhamento G=75\\ \mathrm{GPa}. Dados que vou usar (coloquei em notação explícita):
L=2{,}00\\ \mathrm{m},\quad \omega=80\\ \mathrm{rad/s},\quad P=32{,}000\\ \mathrm{W},
d_o=40\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r_o=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m},\quad \tau_{\mathrm{adm}}=140\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
\theta_{\max}=0{,}05\\ \mathrm{rad},\quad G=75\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Observação: o enunciado escreveu “32 kN de potência” — isso é incorreto em unidades; aqui interpreto como 32\\ \mathrm{kW}=32{,}000\\ \mathrm{W} (isso é necessário para calcular o torque).

Passo 2

Calcular o torque transmitido T a partir da potência:
P=T\,\omega \quad\Rightarrow\quad T=\frac{P}{\omega}.
Substituindo os valores:
T=\frac{32{,}000}{80}=400\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Relembrando fórmulas importantes (motivação didática):
  • Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right),
onde r_o é o raio externo e r_i o raio interno.
  • A tensão de cisalhamento máxima na parede externa, devido ao torque, é
\tau_{\max}=\frac{T\,r_o}{J}.
  • O ângulo de torção em comprimento L é
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Essas fórmulas são padrões de resistência dos materiais / mecânica dos sólidos: J mede a “resistência geométrica” à torção; \tau_{\max} vem da distribuição de tensões para seção circular; \theta vem da relação linear entre torque e ângulo via rigidez torsional GJ/L.

Passo 4

Impor a condição de tensão admissível \tau_{\max}\le\tau_{\mathrm{adm}}. A partir de \tau_{\max}=\dfrac{T r_o}{J} obtemos uma exigência mínima para J:
J\ge J_{1}=\frac{T\,r_o}{\tau_{\mathrm{adm}}}.
Calcule numericamente:
J_{1}=\frac{400\cdot0{,}02}{140\times10^{6}}=\frac{8}{140\times10^{6}}=5{,}71\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 5

Impor a condição de torção \theta\le\theta_{\max}. A partir de \theta=\dfrac{T L}{G J} obtemos:
J\ge J_{2}=\frac{T\,L}{G\,\theta_{\max}}.
Calcule numericamente:
J_{2}=\frac{400\cdot2}{75\times10^{9}\cdot0{,}05}=\frac{800}{3{,}75\times10^{9}}=2{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 6

Comparar exigências: J_{1}=5{,}71\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4 e J_{2}=2{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4. A restrição de torção ( \theta) é mais severa, logo devemos usar
J_{\mathrm{req}}=J_{2}=2{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 7

Relacionar J_{\mathrm{req}} com o raio interno r_i:
J_{\mathrm{req}}=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right)\quad\Rightarrow\quad r_i^4=r_o^4-\frac{2J_{\mathrm{req}}}{\pi}.
Calcule r_o^4:
r_o^4=(0{,}02)^4=1{,}60\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
Calcule o termo \dfrac{2J_{\mathrm{req}}}{\pi}:
\frac{2J_{\mathrm{req}}}{\pi}=\frac{2\cdot2{,}13\times10^{-7}}{\pi}= \frac{4{,}26\times10^{-7}}{\pi}\approx1{,}36\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
Portanto
r_i^4=1{,}60\times10^{-7}-1{,}36\times10^{-7}=2{,}41\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 8

Extrair a quarta raiz para obter r_i. Faço em duas etapas (raízes quadradas sucessivas):
\sqrt{r_i^4}=\sqrt{2{,}41\times10^{-8}}=1{,}55\times10^{-4},
r_i=\sqrt{1{,}55\times10^{-4}}=1{,}247\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}01247\\ \mathrm{m}=12{,}47\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Calcular a espessura mínima t_{\min}=r_o-r_i:
t_{\min}=0{,}02-0{,}01247=0{,}00753\\ \mathrm{m}=7{,}53\\ \mathrm{mm}.

Passo 10

Verificação rápida (confirmação didática):
  • Com esse J a torção é exatamente o limite:
\theta=\frac{T L}{G J_{\mathrm{req}}}=0{,}05\\ \mathrm{rad},
conforme projetado.
  • A tensão de cisalhamento real fica bem abaixo do admissível:
\tau_{\max}=\frac{T r_o}{J_{\mathrm{req}}}=\frac{400\cdot0{,}02}{2{,}13\times10^{-7}}=37{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=37{,}5\\ \mathrm{MPa}<140\\ \mathrm{MPa}.
Isto mostra que a restrição dominante foi a limitação da torção, não a resistência ao cisalhamento.

Resposta

t_{\min}=7{,}53\\ \mathrm{mm}

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