Um conjunto cilindro-pistão contém
de oxigênio a
ocupando inicialmente um volume de
. O oxigênio é então aquecido enquanto o pistão permanece preso por um pino até que sua temperatura atinja
. Posteriormente, o pino é retirado e o oxigênio se expande isotermicamente até o pistão encostar nos esbarros, onde o volume da câmara é o dobro do volume inicial. Determine o calor total transferido e o trabalho realizado, em kJ, considerando o processo de expansão como de quase-equilíbrio.
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro-pistão com 1,0 kg de oxigênio a 0°C ocupando inicialmente um volume de 0,5 m³. Primeiro, o oxigênio é aquecido enquanto o pistão está preso, aumentando a temperatura para 50°C mantendo o volume constante. Depois, o pistão é liberado e o oxigênio se expande isotermicamente (temperatura constante) até que o volume dobre, ou seja, passe para 1,0 m³.
Vamos precisar usar os conceitos de termodinâmica relacionados a processos a volume constante e isotérmico, além das leis dos gases ideais. Também vamos utilizar as fórmulas de calor transferido (Q) e trabalho realizado (W) em cada processo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o processo de aquecimento a volume constante. Quando o volume não muda, o trabalho realizado pelo sistema é zero porque não há deslocamento do pistão. A fórmula para o calor transferido em um processo a volume constante é:
Onde:
- $ n $ é a quantidade de mols
- $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Primeiro, precisamos calcular a quantidade de mols de oxigênio. Sabemos que a massa ($ m
M $) do O₂ é aproximadamente 32 g/mol.
Passo 3
Agora, vamos determinar a capacidade térmica a volume constante ($ C_V $) para o oxigênio. Para gases diatômicos como o O₂, $ C_V = \frac{5}{2} R $, onde $ R $ é a constante dos gases ideais ($ 8,314 , J/mol·K $).
Passo 4
A variação de temperatura ($ \Delta T $) é de 50°C - 0°C = 50 K. Agora podemos calcular o calor transferido durante o aquecimento a volume constante:
Convertendo para kJ:
Passo 5
No primeiro processo (aquecimento a volume constante), como o volume não muda, o trabalho realizado ($ W $) é zero:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo processo: a expansão isotérmica, onde a temperatura permanece constante em 50°C. Nesse caso, o trabalho realizado pelo gás pode ser calculado pela fórmula:
Onde:
- $ V_f $ é o volume final (1,0 m³)
- $ V_i $ é o volume inicial (0,5 m³)
Primeiro, precisamos converter a temperatura para Kelvin:
Passo 7
Agora, aplicando os valores na fórmula do trabalho:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Convertendo para kJ:
Passo 8
Para o calor transferido durante o processo isotérmico, podemos usar a relação da primeira lei da termodinâmica:
Como a temperatura é constante, a variação da energia interna ($ \Delta U $) é zero para um processo isotérmico de um gás ideal. Portanto:
Então, o calor transferido nesse processo também é:
Resposta
O calor total transferido é $ Q = 91,16 , kJ $ e o trabalho realizado é $ W = 58,19 , kJ $.