Um conjunto cilindro-pistão vertical contém ar e é equipado com um resistor elétrico. O pistão, que possui uma massa de
e uma área de
, é pressionado pela atmosfera. Quando uma corrente elétrica passa pelo resistor, o volume de ar aumenta lentamente de
, mantendo a pressão constante. A massa do ar é de
e sua energia interna específica aumenta em
. Inicialmente e ao final do processo, o ar e o pistão estão em repouso. O cilindro-pistão, feito de material cerâmico, é um excelente isolante, e o atrito entre o pistão e o cilindro é desprezível. Calcule a transferência de calor da resistência para o ar, considerando (a) apenas o ar e (b) o ar e o pistão como o sistema.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos um cilindro-pistão vertical com ar, equipado com um resistor elétrico. Quando a corrente passa pelo resistor, o volume de ar aumenta mantendo a pressão constante. Precisamos calcular a transferência de calor do resistor para o ar (parte a) e para o ar mais o pistão (parte b). Vamos usar os conceitos de Termodinâmica, especificamente a Primeira Lei da Termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna, o calor trocado e o trabalho realizado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Primeira Lei da Termodinâmica, que é dada por:
Onde:
-
é a variação da energia interna. -
é o calor transferido para o sistema. -
é o trabalho realizado pelo sistema.
Como a pressão é constante, o trabalho
pode ser calculado por:
Onde
é a pressão constante e
é a variação de volume.
Passo 3
Vamos identificar os dados fornecidos:
- Massa do ar,
- Variação de volume,
- Aumento da energia interna específica,
Primeiro, calculamos a variação total da energia interna (
):
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o trabalho realizado pelo ar. Para isso, precisamos da pressão
. Como a pressão é constante e o pistão está sob pressão atmosférica, podemos calcular
usando a fórmula:
Onde
é a força devido ao pistão e
é a área.
A força
é dada por:
Onde:
-
(massa do pistão) -
(aceleração da gravidade)
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Com a pressão
conhecida, calculamos o trabalho
:
Passo 6
Agora, aplicamos a Primeira Lei da Termodinâmica para encontrar o calor
:
Passo 7
Agora, vamos considerar o sistema composto pelo ar e pelo pistão. Isso significa que além do ar, a energia também é necessária para movimentar o pistão. Precisamos recalcular a transferência de calor considerando ambos.
Passo 8
A Primeira Lei da Termodinâmica ainda se aplica:
Mas agora
inclui a variação da energia interna do ar e a energia necessária para levantar o pistão.
Passo 9
Já calculamos
para o ar:
Agora, vamos calcular a energia necessária para levantar o pistão. Como o pistão está em repouso inicialmente e final, a energia cinética não muda. Porém, para levantar o pistão, o trabalho realizado é igual ao trabalho calculado anteriormente:
Portanto, a variação total da energia interna do sistema (ar + pistão) é:
Passo 10
Aplicamos novamente a Primeira Lei da Termodinâmica:
Resposta
A transferência de calor da resistência para o ar e o pistão é de aproximadamente 11,71 kJ.