• O conjunto é composto por um tubo de alumínio A B com área de seção transversal de 400 \mathrm{~mm}^{2}. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de traçãc de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C da barra. \left(E_{a c o}=200 \mathrm{GPa}, E_{a l}=70 \mathrm{GPa}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (os valores seguintes foram obtidos da figura enviada).
  • O que o enunciado pede: determinar o deslocamento da extremidade C da barra quando uma carga de tração é aplicada.
  • Dados extraídos do enunciado/figura:
    • Carga: P=80\\ \text{kN}.
    • Tubo de alumínio A B com área de seção transversal A_{al}=400\\ \text{mm}^2.
    • Barra de aço com diâmetro d=10\\ \text{mm}.
    • Distância entre B e A: L_{AB}=400\\ \text{mm} (valor visto na figura).
    • Distância entre B e a parede (local de C): 600\\ \text{mm} (valor visto na figura).
      Logo, comprimento da barra entre o colar em A e C é L_{AC}=600-400=200\\ \text{mm}.
    • Módulos de elasticidade: E_{aco}=200\\ \text{GPa}, E_{al}=70\\ \text{GPa}.

Passo 2

Entendendo a física e a compatibilidade: ao puxar a barra em C a força P é transmitida ao colar em A; o colar liga a barra ao tubo, de modo que o tubo (trecho AB) e o trecho da barra entre A e C são submetidos à mesma força axial P em série. Para barras em série a deformação axial total é a soma das deformações de cada trecho.
Fórmula básica (Lei de Hooke em tração axial): para uma barra reta submetida a uma força axial constante,
\delta=\frac{P\,L}{E\,A},
onde
  • \delta é a deformação axial (alongamento) em mm,
  • P é a força axial em N,
  • L é o comprimento da peça em mm,
  • E é o módulo de elasticidade em N/mm ^2,
  • A é a área da seção transversal em mm ^2.
Observações sobre unidades: converteremos P para N e E para N/mm ^2 (lembrando que 1\\ \text{GPa}=1000\\ \text{N/mm}^2). A deformação resultará em mm.

Passo 3

Calcular a área da seção da barra de aço (diâmetro d=10\\ \text{mm}):
A_{aco}=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(10\\ \text{mm})^2}{4}=25\pi\\ \text{mm}^2\approx78{,}54\\ \text{mm}^2.
Converter constantes para unidades compatíveis:
P=80\\ \text{kN}=80{,}000\\ \text{N}, \qquad E_{aco}=200\\ \text{GPa}=200{,}000\\ \text{N/mm}^2, \qquad E_{al}=70\\ \text{GPa}=70{,}000\\ \text{N/mm}^2.

Passo 4

Calcular o alongamento do trecho da barra de aço entre A e C ( L_{AC}=200\\ \text{mm}):
\delta_{aco}=\frac{P\,L_{AC}}{E_{aco}\,A_{aco}} =\frac{80{,}000\cdot200}{200{,}000\cdot25\pi} =\frac{16{,}000{,}000}{5{,}000{,}000\pi} =\frac{3{,}2}{\pi}\\ \text{mm} \approx1{,}019\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular o alongamento do tubo de alumínio AB ( L_{AB}=400\\ \text{mm}, A_{al}=400\\ \text{mm}^2):
\delta_{al}=\frac{P\,L_{AB}}{E_{al}\,A_{al}} =\frac{80{,}000\cdot400}{70{,}000\cdot400} =\frac{32{,}000{,}000}{28{,}000{,}000} =\frac{8}{7}\\ \text{mm} \approx1{,}143\\ \text{mm}.

Passo 6

Deformação total até a extremidade C é a soma das deformações em série:
\delta_C=\delta_{al}+\delta_{aco} \approx1{,}143\\ \text{mm}+1{,}019\\ \text{mm}=2{,}162\\ \text{mm}.
Arredondando de forma razoável, \delta_C\approx2{,}16\\ \text{mm}.

Resposta

\delta_C=2{,}16\\ \text{mm}

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