Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
{\operatorname{sen}(x), \cos (x)}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por \operatorname{sen}(x) e \cos(x) é linearmente independente (LI).
Informações dadas e que podemos usar:
  • O conjunto é \{\operatorname{sen}(x),\cos(x)\}.
  • A definição de LI que vamos usar: o conjunto é LI se a condição
c_{1}\,\operatorname{sen}(x)+c_{2}\,\cos(x)=0\quad\text{para todo }x
implica que c_{1}=c_{2}=0.
  • Valores trigonométricos conhecidos que usaremos: \operatorname{sen}(0)=0, \cos(0)=1, \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 2

Começamos supondo a hipótese da definição: exista c_{1},c_{2}\in\mathbb{R} tais que
c_{1}\,\operatorname{sen}(x)+c_{2}\,\cos(x)=0\quad\text{para todo }x.
Esta igualdade é uma identidade em x, ou seja, vale para qualquer escolha de x. Logo podemos avaliar em pontos convenientes para obter equações para c_{1} e c_{2}.

Passo 3

Avaliaremos a identidade em x=0. Usando os valores trigonométricos conhecidos ( \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1), obtemos:
c_{1}\,\operatorname{sen}(0)+c_{2}\,\cos(0)=0
ou seja
c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=0.

Passo 4

Agora avaliaremos a identidade em x=\tfrac{\pi}{2}. Usando \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 e \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, obtemos:
c_{1}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+c_{2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0
ou seja
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=0.

Passo 5

Chegamos a c_{1}=0 e c_{2}=0. Isso significa que a única combinação linear de \operatorname{sen}(x) e \cos(x) que é identicamente zero é a combinação trivial. Pelo critério de independência linear, as funções \operatorname{sen}(x) e \cos(x) são linearmente independentes.
Comentário didático curto: a ideia principal foi usar que a identidade vale para todo x, então vale em pontos específicos escolhidos para anular uma das funções e isolar a outra. Esse é um truque simples e muito útil em provas sem cálculo. Outra abordagem (mais avançada) seria diferenciar a identidade ou usar o wronskiano; mas para este problema a escolha de pontos 0 e \tfrac{\pi}{2} é a forma mais direta.

Resposta

\operatorname{sen}(x) e \cos(x) são linearmente independentes.