Um conjunto de funções
é dito LI (linearmente independentes) se
para todo
, implica que
. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por
e
é linearmente independente (LI).
Informações dadas e que podemos usar:
Informações dadas e que podemos usar:
- O conjunto é
. - A definição de LI que vamos usar: o conjunto é LI se a condição
implica que
.
- Valores trigonométricos conhecidos que usaremos:
, , , .
Passo 2
Começamos supondo a hipótese da definição: exista
tais que
Esta igualdade é uma identidade em
, ou seja, vale para qualquer escolha de
. Logo podemos avaliar em pontos convenientes para obter equações para
e
.
Passo 3
Avaliaremos a identidade em
. Usando os valores trigonométricos conhecidos (
e
), obtemos:
ou seja
Passo 4
Agora avaliaremos a identidade em
. Usando
e
, obtemos:
ou seja
Passo 5
Chegamos a
e
. Isso significa que a única combinação linear de
e
que é identicamente zero é a combinação trivial. Pelo critério de independência linear, as funções
e
são linearmente independentes.
Comentário didático curto: a ideia principal foi usar que a identidade vale para todo
, então vale em pontos específicos escolhidos para anular uma das funções e isolar a outra. Esse é um truque simples e muito útil em provas sem cálculo. Outra abordagem (mais avançada) seria diferenciar a identidade ou usar o wronskiano; mas para este problema a escolha de pontos
e
é a forma mais direta.