Um conjunto de funções
é dito LI (linearmente independentes) se
para todo
, implica que
. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
é linearmente independente, isto é, provar que se existem constantes
tais que
para todo
, então necessariamente
e
.
Informações dadas relevantes:
- As duas funções são
e . - A igualdade acima deve valer para todo
(função identicamente nula). - O objetivo é mostrar que apenas a combinação trivial
satisfaz essa condição.
Passo 2
Escolha do método: vou usar avaliação pontual (substituir valores de
) para obter equações simples para
e
. Por que isso funciona? Se uma função
é identicamente zero (ou seja,
para todo
), então em particular vale
para qualquer
escolhido. Assim, ao escolher pontos onde uma das funções se anula ou simplifica muito, conseguimos isolar os coeficientes. Aqui isso é conveniente porque
se anula em
, o que elimina o termo com
e permite encontrar
diretamente.
Observação: outra abordagem possível seria usar o Wronskiano ou derivadas, mas a avaliação em pontos é a mais direta neste caso e não requer cálculo adicional.
Passo 3
Começamos com a hipótese
Avalie esta igualdade em
. Substituindo
temos
Como
, isso dá
Passo 4
Com
, a igualdade original reduz-se para
Para concluir que
basta escolher qualquer
para o qual
. Por exemplo, tome
. Substituindo
obtemos
Como
, segue que
.
(Comentário: poderia-se também argumentar que a função
não é identicamente zero—tem valores não nulos para muitos
—então, se
para todo
, necessariamente
.)
Passo 5
Concluímos que das hipóteses
para todo
segue
e
. Portanto somente a combinação trivial anula as funções, e por definição isso significa que
é um conjunto linearmente independente.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.