Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
\left\{e^{x}, x e^{-x}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções \{e^{x},\, x e^{-x}\} é linearmente independente, isto é, provar que se existem constantes c_{1},c_{2} tais que
c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{-x} = 0
para todo x\in\mathbb{R}, então necessariamente c_{1}=0 e c_{2}=0.
Informações dadas relevantes:
  • As duas funções são f_{1}(x)=e^{x} e f_{2}(x)=x e^{-x}.
  • A igualdade acima deve valer para todo x (função identicamente nula).
  • O objetivo é mostrar que apenas a combinação trivial c_{1}=c_{2}=0 satisfaz essa condição.

Passo 2

Escolha do método: vou usar avaliação pontual (substituir valores de x) para obter equações simples para c_{1} e c_{2}. Por que isso funciona? Se uma função g(x) é identicamente zero (ou seja, g(x)=0 para todo x), então em particular vale g(x_{0})=0 para qualquer x_{0} escolhido. Assim, ao escolher pontos onde uma das funções se anula ou simplifica muito, conseguimos isolar os coeficientes. Aqui isso é conveniente porque x e^{-x} se anula em x=0, o que elimina o termo com c_{2} e permite encontrar c_{1} diretamente.
Observação: outra abordagem possível seria usar o Wronskiano ou derivadas, mas a avaliação em pontos é a mais direta neste caso e não requer cálculo adicional.

Passo 3

Começamos com a hipótese
c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{-x} = 0\qquad\text{para todo }x.
Avalie esta igualdade em x=0. Substituindo x=0 temos
c_{1} e^{0} + c_{2}\cdot 0 \cdot e^{0} = 0.
Como e^{0}=1, isso dá
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=0.

Passo 4

Com c_{1}=0, a igualdade original reduz-se para
c_{2} x e^{-x} = 0\qquad\text{para todo }x.
Para concluir que c_{2}=0 basta escolher qualquer x para o qual x e^{-x}\neq 0. Por exemplo, tome x=1. Substituindo x=1 obtemos
c_{2}\cdot 1 \cdot e^{-1} = 0.
Como e^{-1}\neq 0, segue que c_{2}=0.
(Comentário: poderia-se também argumentar que a função x e^{-x} não é identicamente zero—tem valores não nulos para muitos x—então, se c_{2} x e^{-x}=0 para todo x, necessariamente c_{2}=0.)

Passo 5

Concluímos que das hipóteses c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{-x}=0 para todo x segue c_{1}=0 e c_{2}=0. Portanto somente a combinação trivial anula as funções, e por definição isso significa que \{e^{x},\, x e^{-x}\} é um conjunto linearmente independente.

Resposta

As funções e^{x} e x e^{-x} são linearmente independentes.