Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que -7 x_{2}+x_{4}=-7 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -21\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -28\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -6 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -28\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -21\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A) a (H) descreve exatamente o conjunto dos vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
-7x_{2}+x_{4}=-7.
Informações relevantes dadas:
  • A condição única que define o conjunto é \,-7x_{2}+x_{4}=-7.
  • Cada alternativa dá um ponto particular b\in\mathbb{R}^{4} mais o span de três vetores (uma subvariedade afim).
  • Para que uma alternativa represente o conjunto pedido, seu ponto particular deve satisfazer \,-7b_{2}+b_{4}=-7 e todos os vetores da parte \operatorname{span} devem satisfazer a equação homogênea associada
-7x_{2}+x_{4}=0,
além disso os três vetores do span devem gerar todo o espaço solução homogêneo (que tem dimensão 3).

Passo 2

Vou construir a forma canônica da solução para entender o que esperamos encontrar. Tome variáveis livres
\,s=x_{1},\;t=x_{2},\;u=x_{3}. Da equação -7x_{2}+x_{4}=-7 obtemos
x_{4}=7x_{2}-7=7t-7.
Assim um vetor genérico solução é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\t\u\\\ 7t-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto uma parametrização conveniente é
p=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix} +\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Isto mostra que:
  • O espaço homogêneo (soluções de -7x_{2}+x_{4}=0) tem dimensão 3 e é gerado por esses três vetores.
  • Qualquer alternativa correta deve ter um ponto particular que satisfaça -7b_{2}+b_{4}=-7 e três geradores que satisfaçam -7v_{2}+v_{4}=0 e sejam linearmente independentes (portanto geram todo o espaço homogêneo).

Passo 3

Estratégia de verificação para cada alternativa:
  1. Calcular -7b_{2}+b_{4} para o ponto b da alternativa; deve ser -7.
  2. Para cada vetor gerador v no \operatorname{span}, calcular -7v_{2}+v_{4}; todos devem dar 0.
  3. Se o (1) e (2) forem satisfeitos, verificar que os três vetores geradores são linearmente independentes (suficiente checar que a matriz formada pelas componentes (x_{1},x_{2},x_{3}) desses vetores tem determinante não nulo), garantindo que o span tem dimensão 3.
Vou aplicar esse teste a cada alternativa.

Passo 4

Alternativa (A):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot 1+0=-7,
logo o ponto particular está OK.
  • Vetores do span:
    v_{1}=\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot 0+0=0 ok.
    v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}: -7\cdot 0+(-5)=-5\neq 0.
    Portanto v_{2} não pertence ao espaço homogêneo; a alternativa (A) é inválida.

Passo 5

Alternativa (B):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -3\\\ -21\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+(-21)=14-21=-7,
o ponto particular está OK.
  • Vetores do span:
    w_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}: -7\cdot 7+1=-49+1=-48\neq0.
    Portanto w_{1}\notin espaço homogêneo; a alternativa (B) é inválida.

Passo 6

Alternativa (C):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}. Já vimos que é particular válido porque -7\cdot1+0=-7.
  • Vetores do span:
    a_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot 0+0=0 ok.
    a_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot5+0=-35\neq0.
    Logo a_{2}\notin espaço homogêneo; a alternativa (C) é inválida.

Passo 7

Alternativa (D):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\\\ -28\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-3)+(-28)=21-28=-7,
ponto particular OK.
  • Vetores do span:
    s_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0 ok.
    s_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot(-6)+0=42\neq0.
    Portanto s_{2}\notin espaço homogêneo; (D) é inválida.

Passo 8

Alternativa (E):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\\\ -28\end{pmatrix}. Já vimos que é particular válido.
  • Vetores do span:
    t_{1}=\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0 ok.
    t_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}: -7\cdot0+(-2)=-2\neq0.
    Logo t_{2}\notin espaço homogêneo; (E) inválida.

Passo 9

Alternativa (F):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -3\\\ -21\end{pmatrix}. Já verificamos antes que
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+(-21)=14-21=-7,
portanto o ponto particular está OK.
  • Vetores do span:
    u_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix}: -7\cdot1+7=0.
    u_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0.
    u_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0.
    Todos os três pertencem ao espaço homogêneo.
  • Verificar independência linear: pego as componentes (x_{1},x_{2},x_{3}) dos três vetores e formo a matriz cujas colunas são essas componentes:
M=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(M)= -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-7\end{pmatrix} = -1\cdot(1\cdot(-7)-0)= -1\cdot(-7)=7\neq 0.
Como o determinante é não nulo, os três vetores são linearmente independentes e, sendo todos do espaço homogêneo de dimensão 3, geram todo o espaço homogêneo. Portanto (F) representa exatamente o conjunto pedido.]

Passo 10

Alternativa (G):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+7=14+7=21\neq -7,
logo o ponto particular não satisfaz a equação; (G) é inválida.

Passo 11

Alternativa (H):
  • Ponto b=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix} igual ao de (G), portanto também não satisfaz -7b_{2}+b_{4}=-7. (H) é inválida.

Resposta

(F)