O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A) a (H) descreve exatamente o conjunto dos vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
-7x_{2}+x_{4}=-7.
Informações relevantes dadas:
A condição única que define o conjunto é \,-7x_{2}+x_{4}=-7.
Cada alternativa dá um ponto particular b\in\mathbb{R}^{4} mais o span de três vetores (uma subvariedade afim).
Para que uma alternativa represente o conjunto pedido, seu ponto particular deve satisfazer \,-7b_{2}+b_{4}=-7 e todos os vetores da parte \operatorname{span} devem satisfazer a equação homogênea associada
-7x_{2}+x_{4}=0,
além disso os três vetores do span devem gerar todo o espaço solução homogêneo (que tem dimensão 3).
Passo 2
Vou construir a forma canônica da solução para entender o que esperamos encontrar. Tome variáveis livres \,s=x_{1},\;t=x_{2},\;u=x_{3}. Da equação -7x_{2}+x_{4}=-7 obtemos
O espaço homogêneo (soluções de -7x_{2}+x_{4}=0) tem dimensão 3 e é gerado por esses três vetores.
Qualquer alternativa correta deve ter um ponto particular que satisfaça -7b_{2}+b_{4}=-7 e três geradores que satisfaçam -7v_{2}+v_{4}=0 e sejam linearmente independentes (portanto geram todo o espaço homogêneo).
Passo 3
Estratégia de verificação para cada alternativa:
Calcular -7b_{2}+b_{4} para o ponto b da alternativa; deve ser -7.
Para cada vetor gerador v no \operatorname{span}, calcular -7v_{2}+v_{4}; todos devem dar 0.
Se o (1) e (2) forem satisfeitos, verificar que os três vetores geradores são linearmente independentes (suficiente checar que a matriz formada pelas componentes (x_{1},x_{2},x_{3}) desses vetores tem determinante não nulo), garantindo que o span tem dimensão 3.
Vou aplicar esse teste a cada alternativa.
Passo 4
Alternativa (A):
Ponto b=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot 1+0=-7,
logo o ponto particular está OK.
Vetores do span: v_{1}=\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot 0+0=0 ok. v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}: -7\cdot 0+(-5)=-5\neq 0.
Portanto v_{2} não pertence ao espaço homogêneo; a alternativa (A) é inválida.
Passo 5
Alternativa (B):
Ponto b=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -3\\\ -21\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+(-21)=14-21=-7,
o ponto particular está OK.
Vetores do span: w_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}: -7\cdot 7+1=-49+1=-48\neq0.
Portanto w_{1}\notin espaço homogêneo; a alternativa (B) é inválida.
Passo 6
Alternativa (C):
Ponto b=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}. Já vimos que é particular válido porque -7\cdot1+0=-7.
Vetores do span: a_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot 0+0=0 ok. a_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot5+0=-35\neq0.
Logo a_{2}\notin espaço homogêneo; a alternativa (C) é inválida.
Passo 7
Alternativa (D):
Ponto b=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\\\ -28\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-3)+(-28)=21-28=-7,
ponto particular OK.
Vetores do span: s_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0 ok. s_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot(-6)+0=42\neq0.
Portanto s_{2}\notin espaço homogêneo; (D) é inválida.
Passo 8
Alternativa (E):
Ponto b=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\\\ -28\end{pmatrix}. Já vimos que é particular válido.
Vetores do span: t_{1}=\begin{pmatrix}7\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0 ok. t_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}: -7\cdot0+(-2)=-2\neq0.
Logo t_{2}\notin espaço homogêneo; (E) inválida.
Passo 9
Alternativa (F):
Ponto b=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -3\\\ -21\end{pmatrix}. Já verificamos antes que
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+(-21)=14-21=-7,
portanto o ponto particular está OK.
Vetores do span: u_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix}: -7\cdot1+7=0. u_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0. u_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix}: -7\cdot0+0=0.
Todos os três pertencem ao espaço homogêneo.
Verificar independência linear: pego as componentes (x_{1},x_{2},x_{3}) dos três vetores e formo a matriz cujas colunas são essas componentes:
Como o determinante é não nulo, os três vetores são linearmente independentes e, sendo todos do espaço homogêneo de dimensão 3, geram todo o espaço homogêneo. Portanto (F) representa exatamente o conjunto pedido.]
Passo 10
Alternativa (G):
Ponto b=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix}. Calcule
-7b_{2}+b_{4}=-7\cdot(-2)+7=14+7=21\neq -7,
logo o ponto particular não satisfaz a equação; (G) é inválida.
Passo 11
Alternativa (H):
Ponto b=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix} igual ao de (G), portanto também não satisfaz -7b_{2}+b_{4}=-7. (H) é inválida.