1. Um conjunto motor-bomba de água tem motor de indução monofásico de 2 cv , 2 polos, tensão 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, rendimento de 77 \%, velocidade 3490 rpm , fator de potência de 0,86 e fator de serviço =1,2. Pede-se:
b) Potencias consumidas;

Passo 1

O que o problema pede (parte b): calcular as potências consumidas pelo conjunto motor-bomba.
Dados fornecidos:
  • Potência nominal: 2\\ \mathrm{cv}.
  • Tensão: 220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Rendimento: 77\% (ou seja \eta=0,77).
  • Fator de potência: 0,86 (ou seja \cos\varphi=0,86).
  • Fator de serviço: 1,2.
  • Velocidade: 3490\\ \mathrm{rpm}.
Observação sobre o que vou calcular (não está pedindo explicitamente, mas é o que normalmente se entende por “potências consumidas”): potência ativa de entrada ( P_{\text{in}}), potência aparente ( S), potência reativa ( Q) e corrente de linha ( I). Vou calcular isso na condição nominal e também na condição com fator de serviço 1,2 (ou seja, assumindo que o motor pode entregar 1,2 vezes a potência nominal mecânica).

Passo 2

Converter \mathrm{cv} para watts (isso é necessário para trabalhar as potências em SI). Usarei a convenção comum
1\\ \mathrm{cv}=736\\ \mathrm{W}.
Logo a potência mecânica de saída nominal (potência no eixo) é
P_{\text{out}} = 2\\ \mathrm{cv}\times 736\\ \mathrm{W/cv} = 1472\\ \mathrm{W}.
Comentário rápido: essa é a potência útil mecânica que sai do eixo do motor se ele estiver carregado em 100% da sua potência nominal.

Passo 3

Relação entre potência de saída, rendimento e potência elétrica de entrada (ativa): o rendimento \eta é a razão entre potência de saída e potência de entrada ativa. A fórmula é
\eta=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}
ou seja
P_{\text{in}}=\dfrac{P_{\text{out}}}{\eta}.
Substituindo os números:
P_{\text{in}}=\dfrac{1472}{0,77}=1912{,}99\\ \mathrm{W}.
Interpretação: essa é a potência elétrica ativa (em watts) que o motor consome da rede quando entrega 2\\ \mathrm{cv} no eixo, considerando rendimento 77\%.

Passo 4

Fator de potência e potência aparente. Em circuitos monofásicos vale
P_{\text{in}}=V\cdot I\cdot\cos\varphi
onde V é a tensão eficaz, I a corrente eficaz e \cos\varphi o fator de potência. A potência aparente é
S=V\cdot I
e relaciona-se com P_{\text{in}} por
S=\dfrac{P_{\text{in}}}{\cos\varphi}.
Calculemos S (em VA) e a corrente I (em A) na condição nominal:
S=\dfrac{1912{,}99}{0,86}=2225{,}58\\ \mathrm{VA},
I=\dfrac{S}{V}=\dfrac{2225{,}58}{220}=10{,}12\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: S é a “potência total” fornecida pela fonte (parte convertida em trabalho/ perdas ativas + parte reativa que oscila entre fonte e motor). A corrente é obtida dividindo S pela tensão, porque em monofásico S=V\cdot I.

Passo 5

Potência reativa Q. A relação vetorial entre P, Q e S é
S^{2}=P_{\text{in}}^{2}+Q^{2}
então
Q=\sqrt{S^{2}-P_{\text{in}}^{2}}.
Uma forma equivalente, usando \cos\varphi, é
Q=P_{\text{in}}\sqrt{\dfrac{1}{\cos^{2}\varphi}-1}.
Calculando:
\sqrt{\dfrac{1}{0,86^{2}}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{0,7396}-1}=\sqrt{0,3526316}=0{,}59385\ldots
Q=1912{,}99\times 0{,}59385\approx 1136{,}02\\ \mathrm{var}.
Interpretação: potência reativa inductiva (positivo) que o motor “puxa” da rede além da potência ativa.

Passo 6

Agora considerar o fator de serviço 1,2. Isso significa que o motor pode, temporariamente/segundo especificação, entregar até 1,2 vezes a potência nominal no eixo. Primeiro calcule a nova potência de saída permitida:
P_{\text{out,fs}}=1{,}2\times P_{\text{out}}=1{,}2\times 1472 = 1766{,}4\\ \mathrm{W}.
Em seguida a potência ativa de entrada necessária (considerando o mesmo rendimento \eta=0,77):
P_{\text{in,fs}}=\dfrac{P_{\text{out,fs}}}{\eta}=\dfrac{1766{,}4}{0,77}=2293{,}77\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Com P_{\text{in,fs}} calcule a potência aparente, corrente e reativa na condição de fator de serviço:
S_{\text{fs}}=\dfrac{P_{\text{in,fs}}}{\cos\varphi}=\dfrac{2293{,}77}{0,86}=2666{,}44\\ \mathrm{VA},
I_{\text{fs}}=\dfrac{S_{\text{fs}}}{V}=\dfrac{2666{,}44}{220}=12{,}11\\ \mathrm{A},
Q_{\text{fs}}=P_{\text{in,fs}}\sqrt{\dfrac{1}{\cos^{2}\varphi}-1}=2293{,}77\times 0{,}59385\approx 1361{,}99\\ \mathrm{var}.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (cheque mental que sempre dá certo): para o caso nominal, \sqrt{1912{,}99^{2}+1136{,}02^{2}}\approx 2225{,}58, que é igual a S; para o caso com fator de serviço, \sqrt{2293{,}77^{2}+1361{,}99^{2}}\approx 2666{,}44. Tudo coerente.

Resposta

P_{\text{out}}=1472\\ \mathrm{W}
P_{\text{in}}=1912{,}99\\ \mathrm{W} (condição nominal)
S=2225{,}58\\ \mathrm{VA} (condição nominal)
Q=1136{,}02\\ \mathrm{var} (condição nominal)
I=10{,}12\\ \mathrm{A} (condição nominal)
P_{\text{out,fs}}=1766{,}4\\ \mathrm{W}
P_{\text{in,fs}}=2293{,}77\\ \mathrm{W} (com fator de serviço 1{,}2)
S_{\text{fs}}=2666{,}44\\ \mathrm{VA}
Q_{\text{fs}}=1361{,}99\\ \mathrm{var}
I_{\text{fs}}=12{,}11\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados