O conjunto C dos números complexos seja \alpha tal que |\alpha|<1. O lugar geométrico dos pontos \mathrm{Z} \in \mathbb{C} que satisfazem a igualdade \left|\frac{\mathrm{z}-\alpha}{1-\bar{\alpha} \cdot \mathrm{z}}\right|=1 é. R: Uma circunferência de centro (0,0) e raio 1.
39) Sejam w=a+b i com b \neq 0 e a, b, c \in R . O conjunto dos números complexos z que verificam a equação \mathrm{w} \cdot \mathrm{z}+\overline{\mathrm{w} \cdot \mathrm{z}}+\mathrm{c}=0, descreve: R: Uma reta com coeficiente angular \mathrm{m}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.

Passo 1

Temos dois exercícios diferentes. Vou listar o que cada enunciado dá e o que pede, para ficar claro.
Exercício A (primeiro): é dado \alpha\in\mathbb{C} com |\alpha|<1. Pede-se o lugar geométrico dos pontos \mathrm{z}\in\mathbb{C} que satisfazem
\left|\frac{\mathrm{z}-\alpha}{1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z}}\right|=1.
Dados relevantes: \alpha complexos com |\alpha|<1; a equação envolve módulo e conjugado \overline{\alpha}.
Exercício B (segundo): é dado w=a+bi com b\neq0 e a,b,c\in\mathbb{R}. Pede-se descrever o conjunto dos z\in\mathbb{C} que verificam
w\cdot z+\overline{w\cdot z}+c=0.
Dados relevantes: w=a+bi, z é número complexo que podemos escrever como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}; b\neq0.

Passo 2

Vou resolver o Exercício A começando da igualdade dada. A condição é
\left|\frac{\mathrm{z}-\alpha}{1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z}}\right|=1.
Isso é a mesma coisa que igualar os módulos dos numerador e denominador:
|\mathrm{z}-\alpha|=|1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z}|.
Para trabalhar com módulos é prático elevar ao quadrado e usar |u|^2 = u\overline{u}. Então escrevo a igualdade em termos de produto com o conjugado.

Passo 3

Calculo o quadrado do módulo do numerador:
|\mathrm{z}-\alpha|^2=(\mathrm{z}-\alpha)(\overline{\mathrm{z}}-\overline{\alpha}).
Faço a multiplicação termo a termo (sem pular passos):
(\mathrm{z}-\alpha)(\overline{\mathrm{z}}-\overline{\alpha}) = \mathrm{z}\,\overline{\mathrm{z}} - \mathrm{z}\,\overline{\alpha} - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} + \alpha\,\overline{\alpha}.
Como \mathrm{z}\,\overline{\mathrm{z}}=|\mathrm{z}|^2 e \alpha\,\overline{\alpha}=|\alpha|^2, fica
|\mathrm{z}-\alpha|^2 = |\mathrm{z}|^2 - \mathrm{z}\,\overline{\alpha} - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} + |\alpha|^2.

Passo 4

Calculo o quadrado do módulo do denominador:
|1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z}|^2=(1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z})(1-\alpha\,\overline{\mathrm{z}}).
Multiplicando:
(1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z})(1-\alpha\,\overline{\mathrm{z}}) =1 - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} - \overline{\alpha}\,\mathrm{z} + |\alpha|^2\,\mathrm{z}\,\overline{\mathrm{z}}.
Usando \mathrm{z}\,\overline{\mathrm{z}}=|\mathrm{z}|^2 obtemos
|1-\overline{\alpha}\,\mathrm{z}|^2 = 1 - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} - \overline{\alpha}\,\mathrm{z} + |\alpha|^2\,|\mathrm{z}|^2.

Passo 5

Como os dois quadrados de módulos são iguais, igualo as expressões obtidas:
|\mathrm{z}|^2 - \mathrm{z}\,\overline{\alpha} - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} + |\alpha|^2 = 1 - \alpha\,\overline{\mathrm{z}} - \overline{\alpha}\,\mathrm{z} + |\alpha|^2\,|\mathrm{z}|^2.
Note que os termos -\mathrm{z}\,\overline{\alpha} e -\alpha\,\overline{\mathrm{z}} aparecem em ambos os lados e se cancelam. Assim sobra
|\mathrm{z}|^2 + |\alpha|^2 = 1 + |\alpha|^2\,|\mathrm{z}|^2.
Reagrupando termos:
|\mathrm{z}|^2 - |\alpha|^2\,|\mathrm{z}|^2 = 1 - |\alpha|^2.
Fatorando |\mathrm{z}|^2 do lado esquerdo:
(1-|\alpha|^2)\,|\mathrm{z}|^2 = 1-|\alpha|^2.
Como pelo enunciado |\alpha|<1, temos 1-|\alpha|^2\neq0. Podemos então dividir por 1-|\alpha|^2 e obter
|\mathrm{z}|^2 = 1,
ou seja
|\mathrm{z}|=1.

Passo 6

Interpretação geométrica do resultado do Exercício A: o conjunto dos \mathrm{z}\in\mathbb{C} com |\mathrm{z}|=1 é precisamente a circunferência de centro (0,0) e raio 1. (Intuição curta: a transformação dada é um automorfismo do disco unitário que preserva a fronteira |\mathrm{z}|=1, e a conta algébrica acima prova isso.)

Passo 7

Agora resolvo o Exercício B. Escrevo z em coordenadas reais: \mathrm{z}=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Multiplico w por \mathrm{z}:
w\cdot \mathrm{z}=(a+bi)(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx).
O conjugado é
\overline{w\cdot \mathrm{z}}=(ax-by)-i(ay+bx).
Somando w\cdot \mathrm{z}+\overline{w\cdot \mathrm{z}} os termos imaginários se cancelam e sobra o dobro da parte real:
w\cdot \mathrm{z}+\overline{w\cdot \mathrm{z}}=2(ax-by).

Passo 8

Substituo isso na equação dada do Exercício B:
2(ax-by)+c=0.
Dividindo por 2 obtenho a equação real da reta:
ax-by+\frac{c}{2}=0.
Como b\neq0, posso isolar y:
y=\frac{a}{b}\,x+\frac{c}{2b}.
Isso é a equação afim de uma reta no plano (x,y); o coeficiente angular (inclinação) é
m=\frac{a}{b}.

Passo 9

Interpretação geométrica do Exercício B: o conjunto dos \mathrm{z}=x+iy que satisfazem a equação é uma reta no plano complexo, com inclinação m=\dfrac{a}{b} e intercepto vertical \dfrac{c}{2b}.

Resposta

Uma circunferência de centro (0,0) e raio 1.
Uma reta com coeficiente angular m=\dfrac{a}{b}.

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