O conjunto C dos números complexos seja \alpha tal que |\alpha|<1. O lugar geométrico dos pontos \mathrm{Z} \in \mathbb{C} que satisfazem a igualdade \left|\frac{\mathrm{z}-\alpha}{1-\bar{\alpha} \cdot \mathrm{z}}\right|=1 é. R: Uma circunferência de centro (0,0) e raio 1.
39) Sejam w=a+b i com b \neq 0 e a, b, c \in R . O conjunto dos números complexos z que verificam a equação \mathrm{w} \cdot \mathrm{z}+\overline{\mathrm{w} \cdot \mathrm{z}}+\mathrm{c}=0, descreve: R: Uma reta com coeficiente angular \mathrm{m}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.
Passo 1
Temos dois exercícios diferentes. Vou listar o que cada enunciado dá e o que pede, para ficar claro.
Exercício A (primeiro): é dado \alpha\in\mathbb{C} com |\alpha|<1. Pede-se o lugar geométrico dos pontos \mathrm{z}\in\mathbb{C} que satisfazem
Como pelo enunciado |\alpha|<1, temos 1-|\alpha|^2\neq0. Podemos então dividir por 1-|\alpha|^2 e obter
|\mathrm{z}|^2 = 1,
ou seja
|\mathrm{z}|=1.
Passo 6
Interpretação geométrica do resultado do Exercício A: o conjunto dos \mathrm{z}\in\mathbb{C} com |\mathrm{z}|=1 é precisamente a circunferência de centro (0,0) e raio 1. (Intuição curta: a transformação dada é um automorfismo do disco unitário que preserva a fronteira |\mathrm{z}|=1, e a conta algébrica acima prova isso.)
Passo 7
Agora resolvo o Exercício B. Escrevo z em coordenadas reais: \mathrm{z}=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Multiplico w por \mathrm{z}:
w\cdot \mathrm{z}=(a+bi)(x+iy)=(ax-by)+i(ay+bx).
O conjugado é
\overline{w\cdot \mathrm{z}}=(ax-by)-i(ay+bx).
Somando w\cdot \mathrm{z}+\overline{w\cdot \mathrm{z}} os termos imaginários se cancelam e sobra o dobro da parte real:
Isso é a equação afim de uma reta no plano (x,y); o coeficiente angular (inclinação) é
m=\frac{a}{b}.
Passo 9
Interpretação geométrica do Exercício B: o conjunto dos \mathrm{z}=x+iy que satisfazem a equação é uma reta no plano complexo, com inclinação m=\dfrac{a}{b} e intercepto vertical \dfrac{c}{2b}.