Para qual conjunto de planos cristalográficos do níquel (Ni) com estrutura cristalina CFC ocorrerá um pico de difração de primeira ordem em um ângulo de difração de 44,53^{\circ} quando se usa uma radiação monocromática com comprimento de onda de 0,1542 \mathrm{~nm} ?
Estrutura Cristalina Reflexões Presentes Indices de Reflexão para os Seis Primeiros Planos
CCC ( h+k+l ) par 110, 200, 211, 220, 310, 222
CFC h, k \mathrm{e} / são todos ímpares ou todos pares 111, 200, 220, 311, 222, 400
Cúbica simples Todos 100, 110, 111, 200, 210, 211

Passo 1

O enunciado pede: para qual conjunto de planos cristalográficos do níquel (Ni) com estrutura cúbica de face centrada (CFC) ocorrerá um pico de difração de primeira ordem em um ângulo de difração de 44,53^\circ usando radiação monocromática de comprimento de onda \lambda = 0,1542\\ \mathrm{nm}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • Material: níquel (Ni) com estrutura cristalina CFC.
  • Comprimento de onda: \lambda = 0,1542\\ \mathrm{nm}.
  • Ângulo de difração informado: 44,53^\circ.
  • Pede-se pico de primeira ordem (ou seja, ordem n=1).
  • A tabela do enunciado indica, para CFC, que as reflexões presentes têm índices com todos os índices pares ou todos ímpares e lista os seis primeiros planos possíveis: 111,\\\ 200,\\\ 220,\\\ 311,\\\ 222,\\\ 400.
(Dados adicionais que não estavam explicitamente no enunciado, mas que são normalmente usados em problemas desse tipo: o parâmetro da rede do níquel. Como o enunciado não dá a, será usado o valor de literatura para Ni à temperatura ambiente: a = 0,3524\\ \mathrm{nm}.)

Passo 2

Entender a lei de Bragg e os símbolos usados (aula curta).
  • A lei de Bragg relaciona o comprimento de onda da radiação, o espaçamento entre planos cristalográficos e o ângulo em que ocorre difração construtiva:
n\lambda = 2d\sin\theta.
Aqui:
  • n é a ordem da reflexão (um inteiro positivo). No problema, n=1.
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação (aqui \lambda=0,1542\\ \mathrm{nm}).
  • d é o espaçamento entre planos (hkl) do cristal.
  • \theta é o ângulo de Bragg — a metade do ângulo de difração que tipicamente aparece nos difratogramas. Em radiografias de pó de raios X costuma-se reportar o ângulo como 2\theta. Por isso é importante notar se o enunciado deu \theta ou 2\theta.
    Explicação informal: quando um feixe incide no cristal, ondas refletidas por planos paralelos interferem; a condição para interferência construtiva é que o caminho extra entre planos seja um múltiplo inteiro de \lambda, e isso dá a fórmula acima.

Passo 3

Interpretação prática do ângulo dado.
  • Em difratometria de raios X é padrão que o ângulo indicado seja 2\theta. O enunciado fala em “ângulo de difração de 44,53^\circ”, então vamos interpretar isso como 2\theta = 44,53^\circ. (Isto é padrão em exercícios de cristalografia / DRX.)
  • Portanto
\theta = \frac{2\theta}{2} = \frac{44,53^\circ}{2} = 22,265^\circ.

Passo 4

Calcular o espaçamento interplanar d usando Bragg para n=1.
  • Aplicando \,n\lambda = 2d\sin\theta com n=1:
d = \frac{\lambda}{2\sin\theta}.
  • Substituindo os valores (todos em \mathrm{nm} e \theta em graus):
d = \frac{0,1542\\ \mathrm{nm}}{2\sin(22,265^\circ)}.
  • Calcule \sin(22,265^\circ). Numericamente \sin(22,265^\circ)\approx 0,37899. Logo
d \approx \frac{0,1542}{2\cdot 0,37899} \approx \frac{0,1542}{0,75798} \approx 0,2035\\ \mathrm{nm}.
Breve interpretação: o pico em 2\theta=44,53^\circ corresponde a planos cujo espaçamento é d\approx 0,2035\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Relacionar d com índices de Miller em um cristal cúbico e usar a condição CFC.
  • Para um cristal cúbico o espaçamento entre planos (hkl) é
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}},
onde a é o parâmetro de rede cúbica e h,k,l são números inteiros (índices de Miller). Aqui:
  • d_{hkl} é o espaçamento entre planos com índices (hkl).
  • a para Ni (valor de literatura usado) é a = 0,3524\\ \mathrm{nm}.
  • Para CFC, só ocorrem reflexões quando h,k,l são todos pares ou todos ímpares (regra do cristal CFC), e os primeiros sextos planos possíveis já foram listados: 111,\\\ 200,\\\ 220,\\\ 311,\\\ 222,\\\ 400.

Passo 6

Determinar qual soma quadrática (h^2+k^2+l^2) corresponde ao d obtido.
  • Reescrevendo a fórmula:
h^2+k^2+l^2 = \left(\frac{a}{d}\right)^2.
  • Substituindo a=0,3524\\ \mathrm{nm} e d\approx 0,2035\\ \mathrm{nm}:
\left(\frac{a}{d}\right)^2 \approx \left(\frac{0,3524}{0,2035}\right)^2.
  • Calcule o quociente: \dfrac{0,3524}{0,2035}\approx 1,73205. Elevando ao quadrado:
\left(\frac{a}{d}\right)^2 \approx 1,73205^2 \approx 3,00.
  • Portanto h^2+k^2+l^2 \approx 3. Entre as combinações inteiras possíveis, 1^2+1^2+1^2 = 3, ou seja os índices (1,1,1).
  • Verificação com a regra CFC: (1,1,1) tem todos os índices ímpares, logo é permitido para estrutura CFC.

Passo 7

Cheque numérico direto (verificação final).
  • Calculando d_{111} com a=0,3524\\ \mathrm{nm}:
d_{111}=\frac{0,3524}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{0,3524}{\sqrt{3}}\approx 0,2035\\ \mathrm{nm},
que coincide com o d obtido do ângulo. Reaplicando Bragg com esse d e \lambda \theta\approx 22,265^\circ e 2\theta\approx 44,53^\circ, confirmando a escolha.

Resposta

(111)

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