O conjunto solução da inequação x² - 2x - 3 ≤ 0 é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação $ x^2 - 2x - 3 \leq 0 $. Estamos lidando com uma inequação do segundo grau, que envolve um polinômio quadrático. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores de $ x $ que satisfazem a desigualdade. Isso geralmente envolve encontrar as raízes da equação associada e analisar o sinal da expressão entre essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação $ x^2 - 2x - 3 = 0 $. As raízes são os valores de $ x $ que fazem a equação igualar a zero. Para encontrar essas raízes, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 2x - 3 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -3 $.

Passo 3

Vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
De
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:
x = -(-2) pm raiz162 times 1 = 2 pm 42
Isso nos dá duas soluções:
x1 = 2 + 42 = 3 e x2 = 2 - 42 = -1

Passo 5

Então, as raízes da equação são $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Essas raízes dividem a linha dos números reais em três intervalos: $ x < -1 $, $ -1 < x < 3 $ e $ x > 3 $.

Passo 6

Vamos agora analisar o sinal da expressão $ x^2 - 2x - 3 $ em cada um desses intervalos:
  1. Para $ x < -1 $: Escolhemos, por exemplo, $ x = -2 $.
    x^2 - 2x - 3
    Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
  2. Para $ -1 < x < 3 $: Escolhemos, por exemplo, $ x = 0 $.
    x < -1
    A expressão é negativa nesse intervalo.
  3. Para $ x > 3 $: Escolhemos, por exemplo, $ x = 4 $.
    x = -2
    A expressão é positiva novamente nesse intervalo.

Passo 7

Agora, como a inequação é $ x^2 - 2x - 3 \leq 0 $, estamos interessados nos valores de $ x $ onde a expressão é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
  • A expressão é negativa ou zero no intervalo $ -1 \leq x \leq 3 $.

Resposta

O conjunto solução da inequação $ x^2 - 2x - 3 \leq 0 $ é $ \boxed{[-1,,3]} $.

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