O conjunto das soluções de cada sistema linear a seguir é um subespaço vetorial de (ou de , se olharmos o sistema na forma matricial)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe pede para a gente verificar se o conjunto de soluções de um sistema linear específico é um subespaço vetorial de ou de (pensando nas soluções como matrizes coluna). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições um conjunto de soluções deve cumprir para ser considerado assim.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial de é um conjunto que satisfaz três condições básicas:
Contém o vetor zero: deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se e estão no conjunto, então também está.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número real, então também está.
Essas condições garantem que o conjunto tem uma estrutura bem comportada, típica de um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o sistema de equações dado:
l 2x + 4y + z = 1 x + y + 2z = 1 x + 3y - z = 0
Para verificar se o conjunto de soluções é um subespaço, primeiro precisamos ver se é um subespaço linear ou não. A chave aqui é olhar para os termos constantes no lado direito das equações.
Passo 4
Observe que nem todas as equações têm zero no lado direito. Se todas tivessem zero, teríamos um sistema homogêneo, e o conjunto de soluções desse sistema sempre forma um subespaço vetorial. Mas, como temos 1 e 0 no lado direito, o sistema é não homogêneo.
Passo 5
Em sistemas não homogêneos, o conjunto de soluções é uma afinação de um subespaço vetorial, o que significa que é uma “cópia deslocada” de um subespaço. Isso quer dizer que, a menos que todas as constantes sejam zero (fazendo o sistema homogêneo), o conjunto de soluções não contém o vetor zero e, portanto, não é um subespaço vetorial.
Passo 6
Além disso, como há constantes não nulas, o conjunto de soluções não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar. Por exemplo, somar duas soluções quaisquer não necessariamente resultará em outra solução do sistema, e multiplicar uma solução por um escalar também pode sair do conjunto de soluções.
Resposta
O conjunto das soluções desse sistema linear não é um subespaço vetorial de ou de , pois o sistema é não homogêneo e, portanto, não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço.