Por que o conjunto W=(x, y, z) in R^3: x+y-z=1 não é um subespaço vetorial de R^3 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber por que esse conjunto não é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, precisamos lembrar dos requisitos para um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado na adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número real, então também deve estar.
Vamos verificar cada um desses requisitos para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em x + y - z = 0 + 0 - 0 = 0 neq 1 . O vetor zero em é . Substituindo na equação que define :
Como , o vetor zero não está em . Isso já nos mostra que não atende ao primeiro requisito para ser um subespaço vetorial.

Passo 3

Embora já tenhamos identificado que o vetor zero não está em , vamos entender por que isso é importante. Um subespaço vetorial precisa sempre conter o vetor zero porque ele representa a “origem” do espaço vetorial. Sem ele, não conseguimos garantir certas propriedades fundamentais, como a existência de vetores opostos e a estrutura linear do espaço.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero, já que nenhum vetor em satisfaz a equação quando . Portanto, não atende aos requisitos necessários para ser um subespaço vetorial.

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