Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de 
  ? Justifique.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto 
  é um subespaço vetorial do espaço tridimensional 
 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que definem quando um conjunto é um subespaço vetorial. Precisaremos verificar três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 
 . O vetor zero em 
  é 
 . Observando a condição de 
 , temos que 
 . No caso do vetor zero, 
 , o que satisfaz a condição 
 . Portanto, o vetor zero está em 
 .
Passo 3
Agora, vamos checar se 
  é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de 
 , a soma deles também deve estar em 
 . Seja 
  e 
  em 
 , então sabemos que 
  e 
 . A soma 
 . Como 
 , a soma também satisfaz 
 . Logo, 
  é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se 
  é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer vetor 
  em 
  e para qualquer escalar 
 , o vetor 
  também deve estar em 
 . Sabemos que 
 . Se 
  for positivo, então 
 , mantendo a condição. Porém, se 
  for negativo, 
 , o que não satisfaz 
 . Portanto, 
  não é fechado sob multiplicação por escalar quando 
  é negativo.
Resposta
O conjunto 
  não é um subespaço vetorial de 
  porque não é fechado sob multiplicação por escalar.