Uma conseqüência importante do princípio da incerteza é a de que uma partícula confinada numa certa região do espaço tem uma energia cinética mínima maior que zero. Se \Delta \mathrm{p} for igualado ao desvio padrão, tem-se (\Delta p)^{2}=\left[\left(p-p_{\text {med }}\right)^{2}\right]_{\text {med }}. Mostrar que isto é equivalente a (\Delta p)^{2}=\left(p^{2}\right)_{\text {med }}-\left(p_{\text {med }}\right)^{2}. Considere uma partícula de massa m numa caixa unidimensional de comprimento L , de modo que \mathrm{p}_{ ext {med }}=0. Encontre o menor valor para sua energia cinética média, usando o fato de \Delta \mathrm{x} não pode ser maior que L .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a definição (\Delta p)^{2}=\left[\left(p-p_{\text{med}}\right)^{2}\right]_{\text{med}} é equivalente a (\Delta p)^{2}=\left(p^{2}\right)_{\text{med}}-\left(p_{\text{med}}\right)^{2}; (ii) usando que p_{\text{med}}=0 para uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento L, e que \Delta x não pode ser maior que L, encontrar o menor valor possível da energia cinética média da partícula. Informações dadas relevantes: \Delta p é o desvio padrão de p, \left[\,\cdot\,\right]_{\text{med}} denota valor médio (expectation value), p_{\text{med}}=\left[p\right]_{\text{med}}=0, e o confinamento espacial dá a restrição \Delta x\le L.

Passo 2

Entendendo a definição de variância (desvio padrão ao quadrado). A variância de uma variável aleatória p é definida por
(\Delta p)^{2}=\left[\left(p-p_{\text{med}}\right)^{2}\right]_{\text{med}}.
Isto significa que primeiro subtraímos o valor médio \left(p_{\text{med}}\right) de p, elevamos ao quadrado e então tomamos a média desse quadrado. Essa operação mede a dispersão de p em torno de sua média.

Passo 3

Vamos expandir a expressão dentro da média. Expandindo o quadrado temos
\left(p-p_{\text{med}}\right)^{2}=p^{2}-2p\,p_{\text{med}}+p_{\text{med}}^{2}.
Agora tomamos a média (o operador [\cdot]_{\text{med}} é linear), portanto
(\Delta p)^{2}=\left[p^{2}\right]_{\text{med}}-2\,p_{\text{med}}\left[p\right]_{\text{med}}+ \left[p_{\text{med}}^{2}\right]_{\text{med}}.

Passo 4

Como p_{\text{med}} é um número (constante) igual a \left[p\right]_{\text{med}}, temos \left[p\right]_{\text{med}}=p_{\text{med}} e \left[p_{\text{med}}^{2}\right]_{\text{med}}=p_{\text{med}}^{2}. Substituindo isso na expressão do Passo 3 dá
(\Delta p)^{2}=\left[p^{2}\right]_{\text{med}}-2\,p_{\text{med}}^{2}+p_{\text{med}}^{2}=\left[p^{2}\right]_{\text{med}}-p_{\text{med}}^{2}.
Portanto mostramos a equivalência pedida.

Passo 5

Agora relacionamos isso com a energia cinética média. O operador energia cinética em mecânica quântica (para massa \,m) é \hat{T}=\hat{p}^{2}/(2m). Assim a energia cinética média é
\left<T\right>=\frac{\left[p^{2}\right]_{\text{med}}}{2m}.
Usando a identidade do Passo 4, podemos escrever
\left<T\right>=\frac{(\Delta p)^{2}+p_{\text{med}}^{2}}{2m}.
No caso dado p_{\text{med}}=0, então isso simplifica para
\left<T\right>=\frac{(\Delta p)^{2}}{2m}.

Passo 6

Introduzimos o princípio da incerteza de Heisenberg, que estabelece a desigualdade
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Esta relação dá um limite inferior para \Delta p em função de \Delta x:
\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Como queremos encontrar o menor valor possível de \left<T\right>, e \left<T\right> cresce com (\Delta p)^{2}, devemos tomar o menor \Delta p permitido pela incerteza.

Passo 7

A partícula está confinada numa caixa de comprimento L, então a dispersão espacial \Delta x não pode ser maior que L. Para minimizar \Delta p usamos o maior valor possível de \Delta x, isto é \Delta x = L. Substituindo na desigualdade obtemos o menor \Delta p possível estimado por
\Delta p_{\min}=\frac{\hbar}{2L}.

Passo 8

Agora calculamos o menor valor possível da energia cinética média usando \left<T\right>=(\Delta p)^{2}/(2m) (já que p_{\text{med}}=0):
\left<T\right]_{\min}=\frac{(\Delta p_{\min})^{2}}{2m} =\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{2L}\right)^{2} =\frac{\hbar^{2}}{8\,m\,L^{2}}.
Isto é um limite inferior estimado pela relação de incerteza; o valor real (por exemplo o estado fundamental da caixa infinita) será maior ou igual a esse limite.

Resposta

\displaystyle \frac{\hbar^{2}}{8\,m\,L^{2}}

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