Uma conseqüência importante do princípio da incerteza é a de que uma partícula confinada numa certa região do espaço tem uma energia cinética mínima maior que zero. Se
for igualado ao desvio padrão, tem-se
. Mostrar que isto é equivalente a
. Considere uma partícula de massa m numa caixa unidimensional de comprimento L , de modo que
. Encontre o menor valor para sua energia cinética média, usando o fato de
não pode ser maior que L .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a definição
é equivalente a
; (ii) usando que
para uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento
, e que
não pode ser maior que
, encontrar o menor valor possível da energia cinética média da partícula. Informações dadas relevantes:
é o desvio padrão de
,
denota valor médio (expectation value),
, e o confinamento espacial dá a restrição
.
Passo 2
Entendendo a definição de variância (desvio padrão ao quadrado). A variância de uma variável aleatória
é definida por
Isto significa que primeiro subtraímos o valor médio
de
, elevamos ao quadrado e então tomamos a média desse quadrado. Essa operação mede a dispersão de
em torno de sua média.
Passo 3
Vamos expandir a expressão dentro da média. Expandindo o quadrado temos
Agora tomamos a média (o operador
é linear), portanto
Passo 4
Como
é um número (constante) igual a
, temos
e
. Substituindo isso na expressão do Passo 3 dá
Portanto mostramos a equivalência pedida.
Passo 5
Agora relacionamos isso com a energia cinética média. O operador energia cinética em mecânica quântica (para massa
) é
. Assim a energia cinética média é
Usando a identidade do Passo 4, podemos escrever
No caso dado
, então isso simplifica para
Passo 6
Introduzimos o princípio da incerteza de Heisenberg, que estabelece a desigualdade
onde
é a constante de Planck reduzida. Esta relação dá um limite inferior para
em função de
:
Como queremos encontrar o menor valor possível de
, e
cresce com
, devemos tomar o menor
permitido pela incerteza.
Passo 7
A partícula está confinada numa caixa de comprimento
, então a dispersão espacial
não pode ser maior que
. Para minimizar
usamos o maior valor possível de
, isto é
. Substituindo na desigualdade obtemos o menor
possível estimado por
Passo 8
Agora calculamos o menor valor possível da energia cinética média usando
(já que
):
Isto é um limite inferior estimado pela relação de incerteza; o valor real (por exemplo o estado fundamental da caixa infinita) será maior ou igual a esse limite.