Consider a plane boundary (y=0) between air (region 1, {\mu}_{r 1}=1 ) and iron (region 2, {\mu}_{r 2}=5000 ).
Assuming \mathbf{B}_{1}=\mathbf{a}_{x} 0.5-\mathbf{a}_{y} 10(\mathrm{mT}), find \mathbf{B}_{2} and the angle that \mathbf{B}_{2} makes with the interface.

Passo 1

O enunciado dá uma fronteira plana (y=0) entre duas regiões: região 1 (ar) com \mu_{r1}=1 e região 2 (ferro) com \mu_{r2}=5000. Foi dada a indução magnética em região 1 😃
\mathbf{B}_1=\mathbf{a}_x\,0{,}5-\mathbf{a}_y\,10\\ (\text{mT}).
O que o problema pede:
  • Encontrar \mathbf{B}_2 dentro do ferro (região 2).
  • Calcular o ângulo que \mathbf{B}_2 forma com a interface (plano y=0).
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
  • Plano da interface: y=0 (o vetor normal à superfície é ao longo de \mathbf{a}_y).
  • Componentes conhecidas de \mathbf{B}_1: componente tangencial (em \mathbf{a}_x) igual a 0{,}5\\ \text{mT} e componente normal (em \mathbf{a}_y) igual a -10\\ \text{mT}.
  • Relação dos permeabilidades relativas: \mu_{r1}=1 (ar) e \mu_{r2}=5000 (ferro).

Passo 2

Relembrando as condições de contorno (isso é essencial e vamos usar na prova):
  • A componente normal de \mathbf{B} é contínua na fronteira (na ausência de carga magnética): B_{1n}=B_{2n}.Aqui B_{n} significa a componente de \mathbf{B} na direção normal à superfície.
  • A componente tangencial de \mathbf{H} é contínua (na ausência de corrente superficial): H_{1t}=H_{2t}.Aqui H_t é a componente tangencial de \mathbf{H} (paralela à superfície).
  • Relação entre \mathbf{B} e \mathbf{H}: \mathbf{B}=\mu\mathbf{H},com \mu=\mu_0\mu_r. Ao usar razões de permeabilidades, \mu_0 cancela, então basta usar \mu_r.
Vou explicar: como \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, a condição H_{1t}=H_{2t} pode ser escrita em termos de \mathbf{B} como
\frac{B_{1t}}{\mu_1}=\frac{B_{2t}}{\mu_2}
ou seja
B_{2t}=\frac{\mu_2}{\mu_1}B_{1t}.
Essa última fórmula é a que vamos aplicar para achar a componente tangencial em região 2.

Passo 3

Identificar componentes normais e tangenciais no nosso caso:
  • A superfície é y=0. O vetor normal é \mathbf{a}_y. Logo a componente normal de \mathbf{B}_1 é a componente na direção \mathbf{a}_y.
  • A componente tangencial (qualquer direção dentro do plano y=0) aqui aparece na direção \mathbf{a}_x (não há componente em \mathbf{a}_z no enunciado).
Assim, a partir de \mathbf{B}_1:
B_{1t}=0{,}5\\ \text{mT}\quad(\text{componente em }\mathbf{a}_x),
B_{1n}=-10\\ \text{mT}\quad(\text{componente em }\mathbf{a}_y).

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para obter as componentes em região 2.
  1. Continuidade da componente normal de \mathbf{B}:
B_{2n}=B_{1n}=-10\\ \text{mT}.
  1. Continuidade da componente tangencial de \mathbf{H}, escrita em \mathbf{B}:
B_{2t}=\frac{\mu_2}{\mu_1}B_{1t}.
Como \mu_i=\mu_0\mu_{ri}, a razão \mu_2/\mu_1 é igual a \mu_{r2}/\mu_{r1}. Então
B_{2t}=\frac{\mu_{r2}}{\mu_{r1}}\,B_{1t}=\frac{5000}{1}\cdot 0{,}5\\ \text{mT}=2500\\ \text{mT}.
Se preferir em tesla: 2500\\ \text{mT}=2{,}5\\ \text{T}.

Passo 5

Montar o vetor \mathbf{B}_2 a partir das componentes obtidas:
  • componente em \mathbf{a}_x (tangencial) é 2500\\ \text{mT},
  • componente em \mathbf{a}_y (normal) é -10\\ \text{mT}.
Portanto
\mathbf{B}_2=\mathbf{a}_x\,2500-\mathbf{a}_y\,10\\ (\text{mT}).
(em tesla: \mathbf{B}_2=\mathbf{a}_x\,2{,}5-\mathbf{a}_y\,0{,}01\\ (\text{T}).)

Passo 6

Calcular o ângulo que \mathbf{B}_2 faz com a interface. Vou definir o ângulo \alpha como o ângulo entre \mathbf{B}_2 e o plano y=0 (ou seja, o ângulo medido a partir do plano em direção à normal). Geometricamente:
\tan\alpha=\frac{|B_{2n}|}{|B_{2t}|}.
Substituindo valores (em mesma unidade):
\tan\alpha=\frac{10}{2500}=0{,}004.
Como o ângulo é pequeno, podemos calcular exatamente:
\alpha=\arctan(0{,}004)\approx 0{,}229^\circ.

Passo 7

Resumo rápido e check: as fórmulas usadas são as condições de contorno (continuidade de B_n e de H_t) e a relação \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}. Conferimos unidades e, se quiser, pode também escrever \mathbf{B}_2 em tesla como indicado no Passo 5.

Resposta

\mathbf{B}_2=\mathbf{a}_x\,2500-\mathbf{a}_y\,10\\ (\text{mT})
\alpha\approx0{,}229^\circ

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