Consider a plane boundary
between air (region 1,
) and iron (region
).
Assuming
, find
and the angle that
makes with the interface.
Assuming
Passo 1
O enunciado dá uma fronteira plana
entre duas regiões: região 1 (ar) com
e região 2 (ferro) com
. Foi dada a indução magnética em
região 1
😃
O que o problema pede:
- Encontrar
dentro do ferro (região 2). - Calcular o ângulo que
forma com a interface (plano ).
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
- Plano da interface:
(o vetor normal à superfície é ao longo de ). - Componentes conhecidas de
: componente tangencial (em ) igual a e componente normal (em ) igual a . - Relação dos permeabilidades relativas:
(ar) e (ferro).
Passo 2
Relembrando as condições de contorno (isso é essencial e vamos usar na prova):
- A componente normal de
é contínua na fronteira (na ausência de carga magnética): Aqui significa a componente de na direção normal à superfície. - A componente tangencial de
é contínua (na ausência de corrente superficial): Aqui é a componente tangencial de (paralela à superfície). - Relação entre
e : com . Ao usar razões de permeabilidades, cancela, então basta usar .
Vou explicar: como
, a condição
pode ser escrita em termos de
como
ou seja
Essa última fórmula é a que vamos aplicar para achar a componente tangencial em região 2.
Passo 3
Identificar componentes normais e tangenciais no nosso caso:
- A superfície é
. O vetor normal é . Logo a componente normal de é a componente na direção . - A componente tangencial (qualquer direção dentro do plano
) aqui aparece na direção (não há componente em no enunciado).
Assim, a partir de
:
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para obter as componentes em região 2.
- Continuidade da componente normal de
:
- Continuidade da componente tangencial de
, escrita em :
Como
, a razão
é igual a
. Então
Se preferir em tesla:
.
Passo 5
Montar o vetor
a partir das componentes obtidas:
- componente em
(tangencial) é , - componente em
(normal) é .
Portanto
(em tesla:
.)
Passo 6
Calcular o ângulo que
faz com a interface. Vou definir o ângulo
como o ângulo entre
e o plano
(ou seja, o ângulo medido a partir do plano em direção à normal). Geometricamente:
Substituindo valores (em mesma unidade):
Como o ângulo é pequeno, podemos calcular exatamente:
Passo 7
Resumo rápido e check: as fórmulas usadas são as condições de contorno (continuidade de
e de
) e a relação
. Conferimos unidades e, se quiser, pode também escrever
em tesla como indicado no Passo 5.