Consider a plane boundary
between air (region 1,
) and iron (region
).
Assuming
, find
and the angle that
makes with the normal to the interface.
Assuming
Passo 1
O enunciado dá uma superfície plana
que separa duas regiões: região 1 (ar) com
e região 2 (ferro) com
. Foi fornecido o vetor
dentro do ferro:
O que se pede:
- Encontrar
(o campo magnético no ar, região 1) imediatamente na superfície do lado do ar. - Calcular o ângulo que
faz com a normal à interface.
Observações úteis do enunciado que vamos usar: a superfície é
, logo a direção normal é ao longo do eixo
; não há menção a correntes superficiais, então assumiremos ausência de corrente superficial na interface.
Passo 2
Conceitos e condições de contorno que usamos (explicação didática):
- O vetor indução magnética
e o campo estão ligados por , onde . Aqui é a permissividade relativa do material e é a permeabilidade do vácuo. Para comparar razões entre meios diferentes a constante cancela, então basta usar . - Nas interfaces, em ausência de corrente superficial, a condição de contorno é que a componente normal de
é contínua e a componente tangencial de é contínua. Em fórmulas:
- Substituindo
em (ii) obtemos a relação entre componentes tangenciais de :
Isto é intuitivo: a componente normal de
não “salta”, já a componente tangencial de
sofre um salto proporcional à razão
.
Passo 3
Identificação das componentes normal e tangencial para esta interface:
- A normal à superfície
está na direção . Portanto a componente normal é a componente de : . - As componentes tangenciais são as componentes no plano
, ou seja e . Aqui só há não nula. Então é a componente .
Do enunciado temos:
Passo 4
Aplicando continuidade da componente normal de
:
Expliquei: a componente normal não muda ao atravessar a interface.
Passo 5
Aplicando continuidade da componente tangencial de
, ou seja usando
.
Aqui e
, logo
.
Portanto
Aqui
Portanto
Calculemos:
Logo
. E
(não havia componente
).
Passo 6
Montando o vetor
:
Expliquei: a componente
foi reduzida por
, a componente
permaneceu igual.
Passo 7
Cálculo do ângulo que
faz com a normal à interface:
- A normal é
. O ângulo entre e a normal satisfaz
Aqui
,
,
. Então
Passo 8
Calculando
:
Aproximando (usando série ou calculadora mental: para pequenos argumentos
rad), temos em radianos
. Convertendo para graus:
Arredondando de forma razoável:
.