Consider a plane boundary (y=0) between air (region 1, {\mu}_{r 1}=1 ) and iron (region 2, {\mu}_{r 2}=5000 ).
Assuming \mathbf{B}_{2}=\mathbf{a}_{x} 10+\mathbf{a}_{y} 0.5(\mathrm{mT}), find \mathbf{B}_{1} and the angle that \mathbf{B}_{1} makes with the normal to the interface.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície plana y=0 que separa duas regiões: região 1 (ar) com \mu_{r1}=1 e região 2 (ferro) com \mu_{r2}=5000. Foi fornecido o vetor \mathbf{B}_2 dentro do ferro:
\mathbf{B}_2 = \mathbf{a}_x\,10 + \mathbf{a}_y\,0,5\\ \text{(mT)}.
O que se pede:
  1. Encontrar \mathbf{B}_1 (o campo magnético no ar, região 1) imediatamente na superfície do lado do ar.
  2. Calcular o ângulo que \mathbf{B}_1 faz com a normal à interface.
Observações úteis do enunciado que vamos usar: a superfície é y=0, logo a direção normal é ao longo do eixo y; não há menção a correntes superficiais, então assumiremos ausência de corrente superficial na interface.

Passo 2

Conceitos e condições de contorno que usamos (explicação didática):
  • O vetor indução magnética \mathbf{B} e o campo \mathbf{H} estão ligados por \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, onde \mu=\mu_0\mu_r. Aqui \mu_r é a permissividade relativa do material e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Para comparar razões entre meios diferentes a constante \mu_0 cancela, então basta usar \mu_r.
  • Nas interfaces, em ausência de corrente superficial, a condição de contorno é que a componente normal de \mathbf{B} é contínua e a componente tangencial de \mathbf{H} é contínua. Em fórmulas:
\text{(i)}\quad B_{1n}=B_{2n}
\text{(ii)}\quad H_{1t}=H_{2t}
  • Substituindo \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu em (ii) obtemos a relação entre componentes tangenciais de \mathbf{B}:
\frac{B_{1t}}{\mu_{1}}=\frac{B_{2t}}{\mu_{2}}\quad\Rightarrow\quad B_{1t}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}\,B_{2t}.
Isto é intuitivo: a componente normal de \mathbf{B} não “salta”, já a componente tangencial de \mathbf{B} sofre um salto proporcional à razão \mu_1/\mu_2.

Passo 3

Identificação das componentes normal e tangencial para esta interface:
  • A normal à superfície y=0 está na direção \mathbf{a}_y. Portanto a componente normal é a componente y de \mathbf{B}: B_n = B_y.
  • As componentes tangenciais são as componentes no plano y=0, ou seja x e z. Aqui só há x não nula. Então B_{t} é a componente x.
Do enunciado temos:
B_{2x}=10\\ \text{mT},\qquad B_{2y}=0,5\\ \text{mT},\qquad B_{2z}=0.

Passo 4

Aplicando continuidade da componente normal de \mathbf{B}:
B_{1n}=B_{2n}\quad\Rightarrow\quad B_{1y}=B_{2y}=0,5\\ \text{mT}.
Expliquei: a componente normal não muda ao atravessar a interface.

Passo 5

Aplicando continuidade da componente tangencial de \mathbf{H}, ou seja usando B_{1t}=(\mu_1/\mu_2)B_{2t}.
Aqui \mu_{r1}=1 e \mu_{r2}=5000, logo \mu_1/\mu_2=\mu_{r1}/\mu_{r2}=1/5000.
Portanto
B_{1x}=\frac{1}{5000}\,B_{2x}=\frac{1}{5000}\times 10\\ \text{mT}.
Calculemos:
\frac{10}{5000}=0,002\quad\text{(mT)}.
Logo B_{1x}=0,002\\ \text{mT}. E B_{1z}=0 (não havia componente z).

Passo 6

Montando o vetor \mathbf{B}_1:
\mathbf{B}_1 = \mathbf{a}_x\,0,002 + \mathbf{a}_y\,0,5\\ \text{(mT)}.
Expliquei: a componente x foi reduzida por 1/5000, a componente y permaneceu igual.

Passo 7

Cálculo do ângulo que \mathbf{B}_1 faz com a normal à interface:
  • A normal é \mathbf{a}_y. O ângulo \theta entre \mathbf{B}_1 e a normal satisfaz
\tan\theta=\frac{|\mathbf{B}_{1t}|}{|B_{1n}|}=\frac{\sqrt{B_{1x}^2+B_{1z}^2}}{|B_{1y}|}.
Aqui B_{1x}=0,002\\ \text{mT}, B_{1z}=0, B_{1y}=0,5\\ \text{mT}. Então
\tan\theta=\frac{0,002}{0,5}=0,004.

Passo 8

Calculando \theta:
\theta=\arctan(0,004).
Aproximando (usando série ou calculadora mental: para pequenos argumentos \arctan x\approx x rad), temos em radianos \theta\approx 0,004\\ \text{rad}. Convertendo para graus:
\theta\approx 0,004\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0,229^\circ.
Arredondando de forma razoável: \theta\approx 0,23^\circ.

Resposta

\mathbf{B}_1 = \mathbf{a}_x\,0,002 + \mathbf{a}_y\,0,5\\ \text{(mT)}
\theta \approx 0,23^\circ

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