Consider a thin-wall tube, capped at each end and loaded under internal pressure. Calculate the ratio of the axial strain to the hoop strain, assuming that the deformation is elastic. Assume
and
. Does the length of the tube increase, decrease, or remain constant?
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
-
Perguntas do enunciado:
- Calcular a razão entre a deformação axial e a deformação circumferencial (hoop), isto é
, supondo comportamento elástico. - Dizer se o comprimento do tubo aumenta, diminui ou permanece constante.
- Calcular a razão entre a deformação axial e a deformação circumferencial (hoop), isto é
-
Dados fornecidos:
- Tubo de parede delgada (thin-wall), tampado nas extremidades, sob pressão interna
. - Módulo de Young:
. - Coeficiente de Poisson:
.
- Tubo de parede delgada (thin-wall), tampado nas extremidades, sob pressão interna
Observações sobre as informações: o enunciado não dá
, nem espessura
ou raio
. Portanto a resposta deve ser em termos de quantidades adimensionais (razão entre deformações). A hipótese “thin-wall” significa que as tensões por espessura são aproximadas por fórmulas clássicas de vasos de pressão.
Passo 2
Determinar as tensões geradas pela pressão interna num tubo de parede delgada e tampado.
Explicação e fórmulas (equilíbrio de forças):
- Para um revestimento cilíndrico fino sob pressão interna
, a tensão circumferencial (hoop), também chamada de tensão tangencial , é obtida pelo equilíbrio de forças em um elemento de meia-volta:
onde
é o raio médio e
a espessura (thin-wall implica
).
- Para extremidades tampadas, a pressão aplica força sobre as tampas; o corpo cilíndrico sustenta essa força por tensões axiais
. Pelo equilíbrio de forças na direção axial:
Comentário: a relação entre as tensões é então
Passo 3
Lei de Hooke tridimensional (elasticidade linear isotrópica) — relação tensão-deformação.
A lei geral para pequenas deformações em um material linear isotrópico é, para uma direção
(aqui
axial,
circumferencial,
radial):
onde
são as três direções mutuamente perpendiculares. Explicando as variáveis:
-
: deformação na direção (adimensional; positiva = alongamento). -
: tensão na direção (mesmas unidades que ). -
: módulo de Young. -
: coeficiente de Poisson. -
: tensões nas duas direções transversais.
Aplicação ao tubo de parede delgada:
- A tensão radial interna
é muito menor que e (ordem de , mas para um elemento de casca fina costuma-se tomar ao comparar com ); vamos usar a aproximação . - Assim,
Passo 4
Eliminar tensões e obter a razão
.
Usando a relação
nas expressões de
e
:
Formando a razão:
Observação:
e
cancelam — a razão independe de
,
,
e de
; depende somente de
.
Passo 5
Substituir
e calcular numericamente.
Calculemos numerador e denominador:
Portanto
Passo 6
Sinal das deformações e interpretação física (o que acontece com o comprimento).
- A deformação circumferencial
é positiva (o tubo se expande radialmente) porque . - Pela fórmula de
e sabendo que , temos o fator . Como , esse fator é positivo ( ), logo . - Conclusão: a deformação axial é positiva — o comprimento do tubo aumenta (alongamento), embora em menor magnitude que a deformação circumferencial (só
dela no caso dado).
Comentário motivacional: isso faz sentido físico — a pressão interna puxa as tampas para fora gerando tensão axial que tende a alongar o cilindro; a Poisson effect (
) reduz esse alongamento, mas não o inverte porque
.
Resposta
O comprimento do tubo aumenta.