Consider a thin-wall tube, capped at each end and loaded under internal pressure. Calculate the ratio of the axial strain to the hoop strain, assuming that the deformation is elastic. Assume E=10^{7} \mathrm{psi} and v=1 / 3. Does the length of the tube increase, decrease, or remain constant?

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Calcular a razão entre a deformação axial e a deformação circumferencial (hoop), isto é \dfrac{\varepsilon_{\text{axial}}}{\varepsilon_{\text{hoop}}}, supondo comportamento elástico.
    2. Dizer se o comprimento do tubo aumenta, diminui ou permanece constante.
  • Dados fornecidos:
    • Tubo de parede delgada (thin-wall), tampado nas extremidades, sob pressão interna p.
    • Módulo de Young: E=10^{7}\\ \mathrm{psi}.
    • Coeficiente de Poisson: \nu=\tfrac{1}{3}.
Observações sobre as informações: o enunciado não dá p, nem espessura t ou raio r. Portanto a resposta deve ser em termos de quantidades adimensionais (razão entre deformações). A hipótese “thin-wall” significa que as tensões por espessura são aproximadas por fórmulas clássicas de vasos de pressão.

Passo 2

Determinar as tensões geradas pela pressão interna num tubo de parede delgada e tampado.
Explicação e fórmulas (equilíbrio de forças):
  • Para um revestimento cilíndrico fino sob pressão interna p, a tensão circumferencial (hoop), também chamada de tensão tangencial \sigma_{\theta}, é obtida pelo equilíbrio de forças em um elemento de meia-volta:
\sigma_{\theta}=\frac{p\,r}{t},
onde r é o raio médio e t a espessura (thin-wall implica t\ll r).
  • Para extremidades tampadas, a pressão aplica força sobre as tampas; o corpo cilíndrico sustenta essa força por tensões axiais \sigma_{z}. Pelo equilíbrio de forças na direção axial:
\sigma_{z}=\frac{p\,r}{2t}.
Comentário: a relação entre as tensões é então
\sigma_{z}=\frac{1}{2}\,\sigma_{\theta}.

Passo 3

Lei de Hooke tridimensional (elasticidade linear isotrópica) — relação tensão-deformação.
A lei geral para pequenas deformações em um material linear isotrópico é, para uma direção i (aqui z axial, \theta circumferencial, r radial):
\varepsilon_{i}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{i}-\nu(\sigma_{j}+\sigma_{k})\Big),
onde i,j,k são as três direções mutuamente perpendiculares. Explicando as variáveis:
  • \varepsilon_{i}: deformação na direção i (adimensional; positiva = alongamento).
  • \sigma_{i}: tensão na direção i (mesmas unidades que E).
  • E: módulo de Young.
  • \nu: coeficiente de Poisson.
  • \sigma_{j},\sigma_{k}: tensões nas duas direções transversais.
Aplicação ao tubo de parede delgada:
  • A tensão radial interna \sigma_{r} é muito menor que \sigma_{\theta} e \sigma_{z} (ordem de p, mas para um elemento de casca fina costuma-se tomar \sigma_{r}\approx 0 ao comparar com \sigma_{\theta},\sigma_{z}); vamos usar a aproximação \sigma_{r}\approx 0.
  • Assim,
\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{z}-\nu\,\sigma_{\theta}\big), \qquad \varepsilon_{\theta}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{\theta}-\nu\,\sigma_{z}\big).

Passo 4

Eliminar tensões e obter a razão \dfrac{\varepsilon_{z}}{\varepsilon_{\theta}}.
Usando a relação \sigma_{z}=\tfrac{1}{2}\sigma_{\theta} nas expressões de \varepsilon_{z} e \varepsilon_{\theta}:
\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\Big(\tfrac{1}{2}\sigma_{\theta}-\nu\sigma_{\theta}\Big) =\frac{\sigma_{\theta}}{E}\Big(\tfrac{1}{2}-\nu\Big),
\varepsilon_{\theta}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{\theta}-\nu\tfrac{1}{2}\sigma_{\theta}\Big) =\frac{\sigma_{\theta}}{E}\Big(1-\tfrac{\nu}{2}\Big).
Formando a razão:
\frac{\varepsilon_{z}}{\varepsilon_{\theta}} =\frac{\dfrac{\sigma_{\theta}}{E}\big(\tfrac{1}{2}-\nu\big)} {\dfrac{\sigma_{\theta}}{E}\big(1-\tfrac{\nu}{2}\big)} =\frac{\tfrac{1}{2}-\nu}{1-\tfrac{\nu}{2}}.
Observação: \sigma_{\theta} e E cancelam — a razão independe de p, r, t e de E; depende somente de \nu.

Passo 5

Substituir \nu=\tfrac{1}{3} e calcular numericamente.
Calculemos numerador e denominador:
\tfrac{1}{2}-\nu=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}, \qquad 1-\tfrac{\nu}{2}=1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}.
Portanto
\frac{\varepsilon_{z}}{\varepsilon_{\theta}}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{6}}=\frac{1}{5}=0{,}2.

Passo 6

Sinal das deformações e interpretação física (o que acontece com o comprimento).
  • A deformação circumferencial \varepsilon_{\theta} é positiva (o tubo se expande radialmente) porque \sigma_{\theta}>0.
  • Pela fórmula de \varepsilon_{z}=\dfrac{1}{E}(\sigma_{z}-\nu\sigma_{\theta}) e sabendo que \sigma_{z}=\tfrac{1}{2}\sigma_{\theta}, temos o fator \tfrac{1}{2}-\nu. Como \nu=\tfrac{1}{3}<\tfrac{1}{2}, esse fator é positivo ( \tfrac{1}{6}), logo \varepsilon_{z}>0.
  • Conclusão: a deformação axial é positiva — o comprimento do tubo aumenta (alongamento), embora em menor magnitude que a deformação circumferencial (só 20\% dela no caso dado).
Comentário motivacional: isso faz sentido físico — a pressão interna puxa as tampas para fora gerando tensão axial que tende a alongar o cilindro; a Poisson effect ( \nu) reduz esse alongamento, mas não o inverte porque \nu<1/2.

Resposta

\dfrac{\varepsilon_{\text{axial}}}{\varepsilon_{\text{hoop}}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2\n
O comprimento do tubo aumenta.

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