Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade \mathrm{M}=25 \mathrm{kN} . \mathrm{m} são aplicados à viga AB constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto D

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado (lista clara):
  • Pedido: determinar a tensão no ponto D da viga com perfil em U quando a viga está sujeita a dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25\\ \mathrm{kN\cdot m} que fazem a viga flexionar no plano horizontal.
  • Dados explícitos do enunciado/imagem:
    • M=25\\ \mathrm{kN\cdot m} (do enunciado).
    • A viga tem seção em U (canal) — forma composta por duas chapas (flanges) ligadas por uma alma (web).
    • Os momentos aplicados são iguais e opostos nas extremidades, de modo que produzem um momento puro na região central (curvatura por flexão pura).
  • Informação necessária que não está numérica no enunciado (e que é imprescindível para obter um valor numérico da tensão):
    • dimensões geométricas da seção (largura das chapas, espessuras, altura da alma, etc.);
    • posição exata do ponto D em relação à seção (distância vertical até o eixo neutro).
  • Conclusão do passo: com os dados fornecidos só é possível dar a fórmula e o procedimento completo para calcular \sigma_D. Não há medidas numéricas da seção na figura, então um valor numérico final não pode ser determinado sem essas dimensões.

Passo 2

Princípio físico e fórmula fundamental que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
  • Para flexão pura (momento fletor constante numa seção), a tensão normal devido à flexão é dada pela chamada fórmula da flexão:
\sigma = -\dfrac{M\,y}{I}.
Expliquei cada símbolo:
  • \sigma é a tensão normal (positiva por convenção pode ser tração ou compressão conforme o sinal escolhido).
  • M é o momento fletor na seção (aqui M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}).
  • y é a coordenada do ponto onde se quer a tensão medida a partir do eixo neutro, com sinal (se y>0 para cima, o sinal da tensão vem do sinal de M e da convenção).
  • I é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade \mathrm{m^4} no SI).
  • Interpretação física curta e leve: a fórmula diz que fibras mais distantes do eixo neutro (maior |y|) ficam mais tensas; o momento M “tenta” girar a seção e as fibras resistem gerando tensões proporcionais à distância.

Passo 3

Unidades e cuidado prático — como trabalhar sem calculadora complicada:
  • Converta tudo para unidades coerentes. No SI, use M em \mathrm{N\cdot m}, y em \mathrm{m}, I em \mathrm{m^4}. Assim \sigma sai em \mathrm{N/m^2}=\mathrm{Pa}.
  • No problema M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}=25\,000\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Se preferir trabalhar em \mathrm{mm}: use M em \mathrm{N\cdot mm} (multiplicar por 10^3), y em \mathrm{mm}, I em \mathrm{mm^4} — seja consistente.

Passo 4

Como determinar o eixo neutro e o momento de inércia I para uma seção em U (passo-a-passo aplicado à geometria composta)
  • Método geral (dividir a seção em retângulos): modela-se a seção como três retângulos: flange superior, flange inferior e alma (web). Para cada peça:
    • área A_i,
    • posição do centróide y_i medido a partir de uma referência (por ex. base da seção),
    • momento de inércia próprio em relação ao seu centróide I_{i,cent} (para retângulo: I_{cent}=\dfrac{b h^3}{12} onde b e h são as dimensões do retângulo orientadas adequadamente).
  • Centrar a notação: defina as dimensões básicas da seção (exemplos de nomes que você normalmente terá):
    • b_f = largura do flange (comprimento do retângulo da flange),
    • t_f = espessura do flange,
    • h_w = altura da alma (distância entre os flanges, medida entre as faces internas),
    • t_w = espessura da alma.
  • Áreas:
A_{f} = b_f\, t_f \quad(\text{cada flange}),\qquad A_{w}=t_w\, h_w.
  • Localizar o eixo neutro (centroide da área total): calcule
\bar y=\dfrac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i},
onde y_i é a distância do centróide da peça i até a mesma referência (por exemplo a base).
  • Momento de inércia total em relação ao eixo neutro (uso do teorema dos eixos paralelos):
I = \sum_i \left( I_{i,cent} + A_i d_i^2 \right),
onde d_i é a distância entre o centróide da peça i e o eixo neutro e I_{i,cent} é o momento de inércia do retângulo em torno do seu próprio centróide (para retângulo orientado com altura vertical h e largura horizontal b: \,I_{cent}=\dfrac{b h^3}{12}\, em torno do eixo horizontal que passa pelo seu centro).
  • Observação prática que facilita cálculos na prova: muitas seções em U são simétricas em relação ao eixo horizontal médio (flange superior idem inferior). Nesse caso \bar y coincide com a linha média verticalmente e simplifica-se muito: \bar y é a metade da altura total entre faces externas. Se a seção for simétrica verticalmente, então d para flanges são iguais em módulo e os cálculos ficam diretos.

Passo 5

Como obter y (a distância do ponto D ao eixo neutro) e sinal da tensão
  • Primeiro localize o eixo neutro (usando o passo 4). Depois determine a posição do ponto D — claramente o problema pede a tensão no D; então meça a distância vertical entre o eixo neutro e D. Denotemos essa distância por y_D.
  • Se o eixo neutro estiver no centro e D estiver na face interna do flange superior, por exemplo, então
y_D = \text{(distância do neutro até a face interna do flange superior)}.âé
  • Sinal da tensão: usando a convenção da fórmula \sigma = -M y / I: se M>0 e y>0 então \sigma<0 (compressão) — mas o sinal depende de como você orientou o eixo y e o sentido positivo de M. Na prática, identifique qual lado da seção está sendo comprimido pela curva mostrada na figura: as fibras do lado que “dobra para dentro” ficam comprimidas, as do lado oposto ficam tracionadas. Assim informe se D está em tração ou compressão conforme o sinal obtido.

Passo 6

Aplicação final: expressão prática para a tensão em D e instruções para obter um número na prova
  • Fórmula final a aplicar (já mostrada, mas escrita especificamente para D):
\sigma_D = -\,\dfrac{M\,y_D}{I}.
  • Como obter um valor numérico de \sigma_D:
    1. Escreva as dimensões da seção: b_f,\\ t_f,\\ h_w,\\ t_w (essas vêm do enunciado ou da figura com medidas).
    2. Calcule A_f e A_w e as posições y_i dos centróides.
    3. Determine \bar y (eixo neutro).
    4. Calcule cada I_{i,cent} e some com A_i d_i^2 para obter I.
    5. Determine y_D medindo do eixo neutro até D.
    6. Substitua M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}=25\,000\\ \mathrm{N\cdot m}, y_D em \mathrm{m}, e I em \mathrm{m^4} na expressão acima. Resultado em \mathrm{Pa} (ou dividir por 10^6 para obter \mathrm{MPa}).
  • Exemplo simbólico (para ficar bem claro como ficará a conta):
\sigma_D = -\dfrac{25\,000\cdot y_D}{I}\quad\text{(tensão em Pa, se \(y_D\) em m e \(I\) em m}^4\text{).}ã
  • Observação amigável: se a seção for simétrica verticalmente e D for a fibra mais externa, então y_D será simplesmente metade da altura total externa; isso simplifica bastante.

Passo 7

Interpretação do resultado e como dizer se é tração ou compressão (dica para a prova)
  • Depois de calcular \sigma_D numérico, se \sigma_D>0 indica tração (dependendo da sua convenção; com a fórmula \sigma=-My/I e escolhendo y positivo para cima e M positivo no sentido anticlockwise, siga o sinal que aparecer).
  • No desenho dado, identifique visualmente qual flange “abre” (fica em tração) e qual fica comprimido; isso ajuda a conferir se o sinal da sua \sigma_D faz sentido.

Resposta

\sigma_{D} \;=\; -\,\dfrac{M\,y_{D}}{I}.

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