Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga AB constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto D
ponto D
Passo 1
O que o problema pede e o que já foi dado (lista clara):
- Pedido: determinar a tensão no ponto
da viga com perfil em U quando a viga está sujeita a dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade que fazem a viga flexionar no plano horizontal. - Dados explícitos do enunciado/imagem:
-
(do enunciado). - A viga tem seção em U (canal) — forma composta por duas chapas (flanges) ligadas por uma alma (web).
- Os momentos aplicados são iguais e opostos nas extremidades, de modo que produzem um momento puro na região central (curvatura por flexão pura).
-
- Informação necessária que não está numérica no enunciado (e que é imprescindível para obter um valor numérico da tensão):
- dimensões geométricas da seção (largura das chapas, espessuras, altura da alma, etc.);
- posição exata do ponto
em relação à seção (distância vertical até o eixo neutro).
- Conclusão do passo: com os dados fornecidos só é possível dar a fórmula e o procedimento completo para calcular
. Não há medidas numéricas da seção na figura, então um valor numérico final não pode ser determinado sem essas dimensões.
Passo 2
Princípio físico e fórmula fundamental que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
- Para flexão pura (momento fletor constante numa seção), a tensão normal devido à flexão é dada pela chamada fórmula da flexão:
Expliquei cada símbolo:
-
é a tensão normal (positiva por convenção pode ser tração ou compressão conforme o sinal escolhido). -
é o momento fletor na seção (aqui ). -
é a coordenada do ponto onde se quer a tensão medida a partir do eixo neutro, com sinal (se para cima, o sinal da tensão vem do sinal de e da convenção). -
é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade no SI). - Interpretação física curta e leve: a fórmula diz que fibras mais distantes do eixo neutro (maior
) ficam mais tensas; o momento “tenta” girar a seção e as fibras resistem gerando tensões proporcionais à distância.
Passo 3
Unidades e cuidado prático — como trabalhar sem calculadora complicada:
- Converta tudo para unidades coerentes. No SI, use
em , em , em . Assim sai em . - No problema
. - Se preferir trabalhar em
: use em (multiplicar por ), em , em — seja consistente.
Passo 4
Como determinar o eixo neutro e o momento de inércia
para uma seção em U (passo-a-passo aplicado à geometria composta)
- Método geral (dividir a seção em retângulos): modela-se a seção como três retângulos: flange superior, flange inferior e alma (web). Para cada peça:
- área
, - posição do centróide
medido a partir de uma referência (por ex. base da seção), - momento de inércia próprio em relação ao seu centróide
(para retângulo: onde e são as dimensões do retângulo orientadas adequadamente).
- área
- Centrar a notação: defina as dimensões básicas da seção (exemplos de nomes que você normalmente terá):
-
= largura do flange (comprimento do retângulo da flange), -
= espessura do flange, -
= altura da alma (distância entre os flanges, medida entre as faces internas), -
= espessura da alma.
-
- Áreas:
- Localizar o eixo neutro (centroide da área total): calcule
onde
é a distância do centróide da peça
até a mesma referência (por exemplo a base).
- Momento de inércia total em relação ao eixo neutro (uso do teorema dos eixos paralelos):
onde
é a distância entre o centróide da peça
e o eixo neutro e
é o momento de inércia do retângulo em torno do seu próprio centróide (para retângulo orientado com altura vertical
e largura horizontal
:
em torno do eixo horizontal que passa pelo seu centro).
- Observação prática que facilita cálculos na prova: muitas seções em U são simétricas em relação ao eixo horizontal médio (flange superior idem inferior). Nesse caso
coincide com a linha média verticalmente e simplifica-se muito: é a metade da altura total entre faces externas. Se a seção for simétrica verticalmente, então para flanges são iguais em módulo e os cálculos ficam diretos.
Passo 5
Como obter
(a distância do ponto
ao eixo neutro) e sinal da tensão
- Primeiro localize o eixo neutro (usando o passo 4). Depois determine a posição do ponto
— claramente o problema pede a tensão no ; então meça a distância vertical entre o eixo neutro e . Denotemos essa distância por . - Se o eixo neutro estiver no centro e
estiver na face interna do flange superior, por exemplo, então
- Sinal da tensão: usando a convenção da fórmula
: se e então (compressão) — mas o sinal depende de como você orientou o eixo e o sentido positivo de . Na prática, identifique qual lado da seção está sendo comprimido pela curva mostrada na figura: as fibras do lado que “dobra para dentro” ficam comprimidas, as do lado oposto ficam tracionadas. Assim informe se está em tração ou compressão conforme o sinal obtido.
Passo 6
Aplicação final: expressão prática para a tensão em
e instruções para obter um número na prova
- Fórmula final a aplicar (já mostrada, mas escrita especificamente para
):
- Como obter um valor numérico de
: - Escreva as dimensões da seção:
(essas vêm do enunciado ou da figura com medidas). - Calcule
e e as posições dos centróides. - Determine
(eixo neutro). - Calcule cada
e some com para obter . - Determine
medindo do eixo neutro até . - Substitua
, em , e em na expressão acima. Resultado em (ou dividir por para obter ).
- Escreva as dimensões da seção:
- Exemplo simbólico (para ficar bem claro como ficará a conta):
- Observação amigável: se a seção for simétrica verticalmente e
for a fibra mais externa, então será simplesmente metade da altura total externa; isso simplifica bastante.
Passo 7
Interpretação do resultado e como dizer se é tração ou compressão (dica para a prova)
- Depois de calcular
numérico, se indica tração (dependendo da sua convenção; com a fórmula e escolhendo positivo para cima e positivo no sentido anticlockwise, siga o sinal que aparecer). - No desenho dado, identifique visualmente qual flange “abre” (fica em tração) e qual fica comprimido; isso ajuda a conferir se o sinal da sua
faz sentido.