Consider two identical fans, one at sea level and the other on top of a high mountain, running at identical speeds. How would you compare
the mass flow rates of these two fans?

Passo 1

O enunciado dá: dois ventiladores idênticos (mesma geometria), um ao nível do mar e outro no topo de uma montanha; ambos girando à mesma velocidade angular. A pergunta é: comparar as taxas de massa de ar sopradas por cada ventilador (ou seja, dizer qual é maior/menor e como se relacionam numericamente). Informações relevantes listadas: (i) ventiladores idênticos; (ii) mesma rotação; (iii) condições ambientais diferentes (altitude maior na montanha -> pressão e densidade do ar menores). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Definição fundamental que vamos usar: a taxa de massa (mass flow rate) é o produto da densidade do fluido pela vazão volumétrica. Escrevendo em forma matemática:
\dot{m} = \rho\,Q,
onde \dot{m} é a taxa de massa em \mathrm{kg/s}, \rho é a densidade do ar em \mathrm{kg/m^{3}} e Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s}. Vou explicar cada termo: \rho diz quanto de massa existe em cada metro cúbico de ar; Q diz quantos metros cúbicos por segundo o ventilador movimenta; multiplicando os dois obtemos quantos quilogramas por segundo passam.

Passo 3

Relação direta entre as duas situações: escrevemos a taxa de massa no nível do mar e no topo da montanha:
\dot{m}_{\text{mar}} = \rho_{\text{mar}}\,Q_{\text{mar}}, \qquad \dot{m}_{\text{mont}} = \rho_{\text{mont}}\,Q_{\text{mont}}.
Já sabemos que \rho_{\text{mont}}<\rho_{\text{mar}} porque a pressão atmosférica (e portanto a densidade) cai com a altitude. Fica claro que, para comparar \dot{m}, precisamos saber como Q se comporta entre os dois casos.

Passo 4

Discussão sobre Q (vazão volumétrica) com linguagem simples: existe um ponto prático de prova aqui — dois modelos possíveis para o ventilador:
  1. Modelo simplificado (muito usado em exames): o ventilador, girando à mesma velocidade e sendo geometricamente idêntico, desloca aproximadamente o mesmo volume por unidade de tempo, ou seja Q_{\text{mont}}\approx Q_{\text{mar}} = Q. Esse modelo é válido se tratarmos o ventilador como um dispositivo geométrico que impõe um fluxo volumétrico por revolução (ou quando as propriedades do circuito de ar não mudam muito).
  2. Modelo mais refinado (dinâmica dos turbomáquinas): a vazão pode depender do equilíbrio entre curva do ventilador e curva do sistema (e as forças aerodinâmicas dependem de \rho). Nesse caso Q varia um pouco com a densidade. Isso é mais complexo e raramente pedido num exercício básico sem dados adicionais.
Para uma resposta clara e didática de prova, usamos o modelo (1) — é o que se espera: ventiladores idênticos e mesma rotação -> mesma vazão volumétrica aproximadamente.

Passo 5

Usando a hipótese Q_{\text{mont}}=Q_{\text{mar}}=Q, aplicamos a fórmula da massa:
\dot{m}_{\text{mont}} = \rho_{\text{mont}}\,Q,\qquad \dot{m}_{\text{mar}} = \rho_{\text{mar}}\,Q.
Dividindo membro a membro:
\frac{\dot{m}_{\text{mont}}}{\dot{m}_{\text{mar}}}=\frac{\rho_{\text{mont}}}{\rho_{\text{mar}}}.
Ou seja: a razão entre as taxas de massa é igual à razão das densidades ambientes. Conclusão qualitativa imediata: a massa de ar movida pela ventoinha na montanha é menor porque o ar é menos denso.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar a ideia (números típicos da atmosfera padrão): a densidade típica ao nível do mar é \rho_{\text{mar}}\approx 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Num topo de montanha em ~ 3000\\ \mathrm{m} a densidade pode ser \rho_{\text{mont}}\approx 0{,}909\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Então
\frac{\dot{m}_{\text{mont}}}{\dot{m}_{\text{mar}}}=\frac{0{,}909}{1{,}225}\approx 0{,}742.
Isto significa que, mantendo a mesma vazão volumétrica, a taxa de massa na montanha seria cerca de 74{,}2\% da taxa ao nível do mar — ou seja, aproximadamente 25{,}8\% menor.

Passo 7

Observação prática e dica de prova: se a questão pedir valores e der pressão e temperatura, calcule \rho com a equação dos gases ideais:
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde p é a pressão absoluta, T a temperatura em kelvin e R a constante específica do ar (aprox. 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Depois use \dot{m}=\rho Q. Se a questão for conceitual sem números, a resposta curta é que a massa por segundo é menor na montanha, proporcional à razão das densidades.

Passo 8

Resumo intuitivo rápido: o ventilador empurra aproximadamente o mesmo volume de ar por segundo, mas cada metro cúbico de ar na montanha contém menos massa — logo menos massa por segundo é deslocada. Força-me a confiar: você conseguiu entender a relação chave \dot{m}=\rho Q! Vai dar certo na prova — respira fundo 😉

Resposta

\displaystyle \dot{m}_{\text{mont}}=\rho_{\text{mont}}\,Q,\quad \dot{m}_{\text{mar}}=\rho_{\text{mar}}\,Q e, assumindo Q_{\text{mont}}\approx Q_{\text{mar}}, \displaystyle \frac{\dot{m}_{\text{mont}}}{\dot{m}_{\text{mar}}}=\frac{\rho_{\text{mont}}}{\rho_{\text{mar}}}<1.\nEx.: para \rho_{\text{mar}}=1{,}225 e \rho_{\text{mont}}=0{,}909, \dot{m}_{\text{mont}}\approx0{,}742\,\dot{m}_{\text{mar}} (≈26% menor).

Exercícios relacionados