Consider two identical fans, one at sea level and the other on top of a high mountain, running at identical speeds. How would you compare
the mass flow rates of these two fans?
the mass flow rates of these two fans?
Passo 1
O enunciado dá: dois ventiladores idênticos (mesma geometria), um ao nível do mar e outro no topo de uma montanha; ambos girando à mesma velocidade angular. A pergunta é: comparar as taxas de massa de ar sopradas por cada ventilador (ou seja, dizer qual é maior/menor e como se relacionam numericamente). Informações relevantes listadas: (i) ventiladores idênticos; (ii) mesma rotação; (iii) condições ambientais diferentes (altitude maior na montanha -> pressão e densidade do ar menores). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Definição fundamental que vamos usar: a taxa de massa (mass flow rate) é o produto da densidade do fluido pela vazão volumétrica. Escrevendo em forma matemática:
onde
é a taxa de massa em
,
é a densidade do ar em
e
é a vazão volumétrica em
. Vou explicar cada termo:
diz quanto de massa existe em cada metro cúbico de ar;
diz quantos metros cúbicos por segundo o ventilador movimenta; multiplicando os dois obtemos quantos quilogramas por segundo passam.
Passo 3
Relação direta entre as duas situações: escrevemos a taxa de massa no nível do mar e no topo da montanha:
Já sabemos que
porque a pressão atmosférica (e portanto a densidade) cai com a altitude. Fica claro que, para comparar
, precisamos saber como
se comporta entre os dois casos.
Passo 4
Discussão sobre
(vazão volumétrica) com linguagem simples: existe um ponto prático de prova aqui — dois modelos possíveis para o ventilador:
- Modelo simplificado (muito usado em exames): o ventilador, girando à mesma velocidade e sendo geometricamente idêntico, desloca aproximadamente o mesmo volume por unidade de tempo, ou seja
. Esse modelo é válido se tratarmos o ventilador como um dispositivo geométrico que impõe um fluxo volumétrico por revolução (ou quando as propriedades do circuito de ar não mudam muito). - Modelo mais refinado (dinâmica dos turbomáquinas): a vazão pode depender do equilíbrio entre curva do ventilador e curva do sistema (e as forças aerodinâmicas dependem de
). Nesse caso varia um pouco com a densidade. Isso é mais complexo e raramente pedido num exercício básico sem dados adicionais.
Para uma resposta clara e didática de prova, usamos o modelo (1) — é o que se espera: ventiladores idênticos e mesma rotação -> mesma vazão volumétrica aproximadamente.
Passo 5
Usando a hipótese
, aplicamos a fórmula da massa:
Dividindo membro a membro:
Ou seja: a razão entre as taxas de massa é igual à razão das densidades ambientes. Conclusão qualitativa imediata: a massa de ar movida pela ventoinha na montanha é menor porque o ar é menos denso.
Passo 6
Exemplo numérico para fixar a ideia (números típicos da atmosfera padrão): a densidade típica ao nível do mar é
. Num topo de montanha em ~
a densidade pode ser
. Então
Isto significa que, mantendo a mesma vazão volumétrica, a taxa de massa na montanha seria cerca de
da taxa ao nível do mar — ou seja, aproximadamente
menor.
Passo 7
Observação prática e dica de prova: se a questão pedir valores e der pressão e temperatura, calcule
com a equação dos gases ideais:
onde
é a pressão absoluta,
a temperatura em kelvin e
a constante específica do ar (aprox.
). Depois use
. Se a questão for conceitual sem números, a resposta curta é que a massa por segundo é menor na montanha, proporcional à razão das densidades.
Passo 8
Resumo intuitivo rápido: o ventilador empurra aproximadamente o mesmo volume de ar por segundo, mas cada metro cúbico de ar na montanha contém menos massa — logo menos massa por segundo é deslocada. Força-me a confiar: você conseguiu entender a relação chave
! Vai dar certo na prova — respira fundo 😉