Considera a sucessão de termo geral: x_{n}=\frac{2 n-\frac{1}{3}}{n+\frac{1}{4}}
Mostre que a sucessão é monótona.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_{n}=\frac{2\,n - \tfrac{1}{3}}{n + \tfrac{1}{4}}
e pede para mostrar que ela é monótona.
O conteúdo aqui é critério de monotonicidade por comparação de termos consecutivos: basta verificar o sinal de \Delta_{n}=x_{n+1}-x_{n}.

Passo 2

Reescrevemos x_{n} em forma de fração com numerador e denominador inteiros:
x_{n} = \frac{2n - \tfrac{1}{3}}{n + \tfrac{1}{4}} = \frac{\tfrac{6n -1}{3}}{\tfrac{4n+1}{4}} = \frac{6n -1}{3}\,\frac{4}{4n+1} = \frac{4\,(6n-1)}{3\,(4n+1)}.

Passo 3

De modo análogo, para x_{n+1} temos
x_{n+1} = \frac{2(n+1) - \tfrac{1}{3}}{(n+1) + \tfrac{1}{4}} = \frac{\tfrac{6n+5}{3}}{\tfrac{4n+5}{4}} = \frac{4\,(6n+5)}{3\,(4n+5)}.

Passo 4

Calculamos a diferença
\Delta_{n} = x_{n+1} - x_{n} = \frac{4}{3}\Bigl(\frac{6n+5}{4n+5} - \frac{6n-1}{4n+1}\Bigr).
No numerador do parêntese:
(6n+5)(4n+1) - (6n-1)(4n+5) = \bigl(24n^2+26n+5\bigr) - \bigl(24n^2+26n-5\bigr) =10.
Logo,
\Delta_{n} = \frac{4}{3}\,\frac{10}{(4n+5)(4n+1)} = \frac{40}{3\,(4n+5)(4n+1)}.

Passo 5

Como (4n+5)(4n+1)>0 para todo n\in\mathbb{N}, segue que
\Delta_{n}=\frac{40}{3\,(4n+5)(4n+1)}>0.
Isso mostra que x_{n+1}>x_{n} para todo n, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \{x_{n}\} é estritamente crescente.

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