Considerando uma barra de seção circular maciça, constituída de uma liga metálica e com tensão de cisalhamento máxima de 70 MPa , com base no roteiro de utilização do equipamento de ensaio de torção e com base nas equações básicas da torção de barras de seção circular, pede-se:
a. Determine, por meio das equações da torção, o torque \mathbf{T} máximo que poderia ser aplicado na barra (considerar um fator de segurança de 1,25 em relação à tensão máxima).
b. Para um comprimento de torção escolhido para o ensaio, por meio das equações da torção, determine o ângulo de torção máximo que poderia ser imposto na barra (nesse item, considerar \mathbf{G = 3 8 ~ G P a} ).
c. Utilizando-se o equipamento de ensaio de torção e considerando o comprimento de torção do item “b”, obtenha os dados para construção de um gráfico com a relação “torque” \mathbf{x} “ângulo de torção” com pelo menos 5 valores de ângulo de torção inferiores ao ângulo de torção máximo admitido (não aplicar ângulo de torção superior a 10^{\circ} ). Apresente uma tabela com todos os dados utilizados e plote o respectivo gráfico “torque” x “ângulo de torção”.
d. Com base no gráfico obtido no item “c”, estime o módulo de elasticidade transversal da barra, deixe claro como foi realizada a estimativa com base no gráfico.
e. Comente, de forma sucinta, sobre os resultados obtidos na atividade.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que é solicitado e quais dados foram dados:
  • O enunciado fornece a tensão de cisalhamento máxima do material: \,70\\ \text{MPa}\,.
  • Pede-se:
    (a) determinar, pelas equações da torção, o torque máximo que poderia ser aplicado na barra, considerando um fator de segurança de 1{,}25 em relação à tensão máxima;
    (b) para um comprimento de torção escolhido para o ensaio, determinar o ângulo de torção máximo que poderia ser imposto na barra (no item (b) é fornecido o módulo de cisalhamento G como \,38\\ \text{GPa}\,);
    (c) utilizando o equipamento e considerando o comprimento de torção do item (b), obter dados para construir um gráfico “torque” \times “ângulo de torção” com pelo menos 5 valores de ângulo inferiores ao ângulo máximo (não aplicar ângulo superior a 10^\circ), apresentar tabela com todos os dados e plotar o gráfico;
    (d) a partir do gráfico do item (c), estimar o módulo de elasticidade transversal G e explicar como foi feita a estimativa;
    (e) comentar sucintamente sobre os resultados.
  • Informação adicional que aparece no enunciado: \,G = 38\\ \text{GPa}\, (interpreto como módulo de cisalhamento do material).
  • Observação importante: o enunciado não especifica geometria (diâmetro) nem comprimento do espécime; como é pedido que eu escolha um comprimento para o ensaio, vou escolher valores práticos e explícitos para poder entregar números e a tabela solicitada. Vou escolher:
    • diâmetro da barra \,d = 10{,}0\\ \text{mm} = 0{,}010\\ \text{m},
    • comprimento de torção \,L = 200\\ \text{mm} = 0{,}200\\ \text{m}.
      Justificativa: são valores comuns em ensaios de laboratório e permitem cálculos simples sem perder generalidade; se tiver outra dimensão prática, trocamos depois, mas não vou pedir isso (conforme instrução).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas da torção de barra circular maciça (aula rápida e prática).
  • Definições de variáveis que vou usar:
    • \,T = torque aplicado [N·m];
    • \,\tau = tensão de cisalhamento na fibra externa [Pa];
    • \,a = raio da seção circular [m] (logo a = d/2);
    • \,J = momento polar de inércia da seção para torção [m^4];
    • \,L = comprimento do trecho torcido [m];
    • \,\varphi = ângulo de torção (ângulo de giro entre as extremidades) [rad];
    • \,G = módulo de cisalhamento (módulo de elasticidade transversal) [Pa].
  • Fórmulas fundamentais (para barra circular maciça, regime elástico linear):
    1. Relação tensão-torque na fibra externa:
    \tau_{\max}=\frac{T\,a}{J}.Aqui \tau_{\max} é a tensão máxima de cisalhamento na superfície (fibra mais afastada do centro), pois a distribuição é linear com o raio.
    2) Momento polar de inércia para seção circular maciça: J=\frac{\pi a^{4}}{2}.(Alternativamente, em termos do diâmetro d: \;J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.)
    3) Ângulo de torção (ângulo de giro) para um torque T aplicado em comprimento L: \varphi=\frac{T\,L}{G\,J}.
  • Como usar o fator de segurança: a tensão admissível é a tensão última dividida pelo fator de segurança. Se a tensão máxima do material é \,70\\ \text{MPa}\, e o fator de segurança é 1{,}25, então a tensão admissível é \tau_{\text{adm}}=\frac{70\\ \text{MPa}}{1{,}25}=56\\ \text{MPa}.Só podemos aplicar torques que gerem \tau\le \tau_{\text{adm}}.

Passo 3

Calcular o torque máximo admissível (item a), escrevendo as equações e substituindo símbolos.
  • Primeiro, calcule o raio: a=\frac{d}{2}=\frac{0{,}010\\ \text{m}}{2}=0{,}005\\ \text{m}.
  • O momento polar de inércia: J=\frac{\pi a^{4}}{2}.Vou calcular passo a passo: a^{4}=(0{,}005)^{4}=(5\times10^{-3})^{4}=6{,}25\times10^{-10}\\ \text{m}^{4}.
J=\frac{\pi\cdot 6{,}25\times10^{-10}}{2}= \frac{6{,}25\pi \times10^{-10}}{2}=9{,}817477\ldots\times10^{-10}\\ \text{m}^{4}.
(Usando \pi\approx3{,}14159.)
  • Relação entre torque admissível e tensão admissível: \tau_{\text{adm}}=\frac{T_{\max}\,a}{J}\quad\Rightarrow\quad T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{a}.Substituindo J=\dfrac{\pi a^{4}}{2} numa forma simplificada resulta em: T_{\max}=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi a^{3}}{2}.Em termos do diâmetro fica útil para consultas rápidas: T_{\max}=\frac{\pi}{16}\,\tau_{\text{adm}}\,d^{3}.
  • Agora substituo numericamente: \tau_{\text{adm}}=56\times10^{6}\\ \text{Pa}, \qquad d=0{,}010\\ \text{m}, \qquad d^{3}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^{3}.
T_{\max}=\frac{\pi}{16}\cdot(56\times10^{6})\cdot(1{,}0\times10^{-6}) =\frac{\pi}{16}\cdot56.
Calculemos:
\frac{\pi}{16}\cdot56 = 56\cdot\frac{\pi}{16}=56\cdot0{,}1963495\ldots \approx 10{,}9956\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Arredondando razoavelmente: \,T_{\max}\approx 11{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 4

Calcular o ângulo de torção máximo (item b) usando \varphi=\dfrac{T_{\max}L}{GJ} e o valor de G fornecido.
  • Dados: L=0{,}200\\ \text{m},\qquad G=38\\ \text{GPa}=38\times10^{9}\\ \text{Pa},e já calculei J\approx 9{,}81748\times10^{-10}\\ \text{m}^{4} e T_{\max}\approx 10{,}9956\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Calcule \varphi_{\max}: \varphi_{\max}=\frac{T_{\max}\,L}{G\,J} =\frac{10{,}9956\cdot 0{,}200}{38\times10^{9}\cdot 9{,}81748\times10^{-10}}.Faço passo a passo os produtos no denominador: GJ=(38\times10^{9})\cdot(9{,}81748\times10^{-10})\approx 37{,}3065\\ \text{(unidade: N·m}^{2}\text{)}.Numerador: T_{\max}L=10{,}9956\cdot0{,}200=2{,}19912.Portanto \varphi_{\max}=\frac{2{,}19912}{37{,}3065}\approx0{,}05895\\ \text{rad}.Converter para graus (lembrando que 1\\ \text{rad}=180/\pi graus): \varphi_{\max}\approx 0{,}05895\times\frac{180}{\pi}\approx 3{,}38^\circ.Observação: esse ângulo está abaixo do limite pedido de 10^\circ, portanto é um comprimento/diâmetro compatível com a restrição.

Passo 5

Preparar os dados para o gráfico “torque” \times “ângulo de torção” (item c). Estratégia:
  • Na região elástica linear temos a relação direta: T = \frac{GJ}{L}\,\varphi \equiv K\,\varphi,onde K=\dfrac{GJ}{L} é a rigidez à torção (constante de proporcionalidade N·m por rad).
  • Vou calcular K com os números usados: K=\frac{GJ}{L}=\frac{37{,}3065}{0{,}200}=186{,}5325\\ \text{N}\cdot\text{m}\!/\text{rad}.
  • Escolher pelo menos 5 valores de ângulo menores que \varphi_{\max}\approx 0{,}05895\\ \text{rad} e também menores que 10^\circ. Vou escolher ângulos em graus fáceis de ler: \,0{,}5^\circ,\\\ 1{,}0^\circ,\\\ 1{,}5^\circ,\\\ 2{,}0^\circ,\\\ 3{,}0^\circ. Todos são <3{,}38^\circ.
  • Converter cada ângulo para radianos e calcular o torque correspondente por T=K\varphi. Vou apresentar uma tabela com todos os dados (ângulo em graus, ângulo em rad, torque em N·m). Cálculos:
    • \,0{,}5^\circ = 0{,}5\cdot\frac{\pi}{180} = 0{,}00872665\\ \text{rad}. T = 186{,}5325\cdot 0{,}00872665 \approx 1{,}627\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,1{,}0^\circ = 0{,}0174533\\ \text{rad}. T\approx 186{,}5325\cdot0{,}0174533 \approx 3{,}255\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,1{,}5^\circ = 0{,}0261799\\ \text{rad}. T\approx 186{,}5325\cdot0{,}0261799 \approx 4{,}882\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,2{,}0^\circ = 0{,}0349066\\ \text{rad}. T\approx 186{,}5325\cdot0{,}0349066 \approx 6{,}510\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,3{,}0^\circ = 0{,}0523599\\ \text{rad}. T\approx 186{,}5325\cdot0{,}0523599 \approx 9{,}749\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Montando a tabela com os valores arredondados apresentáveis (cada linha: ângulo em graus — ângulo em rad — torque):
    • \,0{,}5^\circ \,0{,}00872665\\ \text{rad} \,1{,}63\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,1{,}0^\circ \,0{,}0174533\\ \text{rad} \,3{,}26\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,1{,}5^\circ \,0{,}0261799\\ \text{rad} \,4{,}88\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,2{,}0^\circ \,0{,}0349066\\ \text{rad} \,6{,}51\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    • \,3{,}0^\circ \,0{,}0523599\\ \text{rad} \,9{,}75\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Como fazer o gráfico (instruções práticas para o relatório de laboratório):
    • Eixo horizontal: ângulo de torção em graus (ou em rad); eixo vertical: torque em N·m.
    • Plote os pares ( \varphi, T) acima; usando software (Excel, Python/matplotlib, Origin) plote pontos e ajuste uma reta passando pelos pontos (no regime elástico é linear).
    • A inclinação da reta (slope) em \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad} será K=\dfrac{GJ}{L}. A partir dela (via ajuste linear) é possível estimar G.

Passo 6

Estimativa do módulo de elasticidade transversal G a partir do gráfico (item d).
  • A ideia: no gráfico T versus \varphi a relação linear é T=K\,\varphi,\qquad K=\frac{GJ}{L}.Se obtivermos do gráfico a inclinação (slope) \,K_{\text{exp}}, então G_{\text{estimado}}=\frac{K_{\text{exp}}\,L}{J}.
  • No nosso caso teórico, os pontos são exatamente lineares porque usei a mesma teoria para gerar os dados; assim o ajuste linear dá K_{\text{exp}}\approx 186{,}53\\ \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad} (o valor calculado). Substituindo: G_{\text{estimado}}=\frac{186{,}5325\cdot 0{,}200}{9{,}81748\times10^{-10}} =38{,}0\times10^{9}\\ \text{Pa}=38\\ \text{GPa}.
  • Procedimento prático para estimar G no laboratório a partir do gráfico:
    1. Fazer ensaio e registrar pares ( \varphi_i,T_i) na faixa elástica.
    2. Plotar T versus \varphi e fazer regressão linear (melhor ajuste por mínimos quadrados).
    3. Obter a inclinação K_{\text{exp}} da reta (unidade N·m/rad).
    4. Calcular G_{\text{estimado}}=(K_{\text{exp}}L)/J, usando o J calculado a partir do diâmetro medido.
  • Observação sobre unidade: quando \varphi no gráfico estiver em graus, é necessário converter a inclinação para radianos antes de usar a fórmula, porque \varphi na fórmula está em radianos. Ou seja, se a inclinação for dada em N·m/deg, multiplique por 180/\pi para converter para N·m/rad.

Passo 7

Comentários sucintos sobre os resultados e hipóteses (item e) — incentivo e dicas práticas.
  • Comentários sobre hipóteses usadas:
    • Presumi comportamento elástico linear (isto é, não ultrapassar limite elástico do material). Os pontos do gráfico gerados seguem essa hipótese.
    • Usei um fator de segurança de 1{,}25 para reduzir a tensão admissível a 56\\ \text{MPa}. Isso garante margem contra ruptura/plástico.
    • Escolhi \,d=10\\ \text{mm} e \,L=200\\ \text{mm} por conveniência de cálculo e por serem valores razoáveis de bancada; resultados mudam se trocar geometria.
  • Comentários sobre resultados:
    • O torque máximo admissível para a geometria escolhida dá um valor pequeno (aprox. \,11\\ \text{N}\cdot\text{m}) — isso é normal para barras finas de aço leve/ligas; torques maiores exigiriam maior diâmetro.
    • O ângulo máximo admissível calculado ( \approx 3{,}38^\circ) está bem dentro do limite solicitado ( 10^\circ), então o ensaio com \,L=200\\ \text{mm} é seguro e opera no regime elástico até esse ângulo.
    • A estimativa de G a partir da inclinação do gráfico é direta e confiável, desde que os dados estejam na região elástica e que as medições de ângulo e torque sejam precisas.
  • Fontes potenciais de erro em ensaio real: medição inadequada do ângulo (deslocamentos parasitas), folgas na máquina, atrito nos suportes, aquecimento, erro de medição do diâmetro (afeta fortemente J\propto d^{4}), e leitura de torque com resolução insuficiente.
  • Dica motivacional: mesmo parecendo muita conta, a sequência é sempre a mesma: (1) usar \tau_{\max}=T a/J para torque admissível; (2) usar \varphi=T L/(G J) para o ângulo; (3) no ensaio obter a inclinação e inverter a fórmula para estimar G. Se dominar essas três etapas, resolve quase todo problema prático de torção — você tá indo bem!

Resposta

(a) T_{\max}\approx 11{,}0\\ \mathrm{N\cdot m} (para d=10{,}0\\ \mathrm{mm}, com FS=1{,}25, ou seja \tau_{\text{adm}}=56\\ \mathrm{MPa}).
(b) \varphi_{\max}\approx 0{,}05895\\ \mathrm{rad}\approx 3{,}38^\circ (para L=0{,}200\\ \mathrm{m} e G=38\\ \mathrm{GPa}).
(c) Tabela de pontos (ângulo — ângulo em rad — torque):
\,0{,}5^\circ \,0{,}00872665\\ \mathrm{rad} \,1{,}63\\ \mathrm{N\cdot m}
\,1{,}0^\circ \,0{,}0174533\\ \mathrm{rad} \,3{,}26\\ \mathrm{N\cdot m}
\,1{,}5^\circ \,0{,}0261799\\ \mathrm{rad} \,4{,}88\\ \mathrm{N\cdot m}
\,2{,}0^\circ \,0{,}0349066\\ \mathrm{rad} \,6{,}51\\ \mathrm{N\cdot m}
\,3{,}0^\circ \,0{,}0523599\\ \mathrm{rad} \,9{,}75\\ \mathrm{N\cdot m}
(Use esses pontos para plottar T versus \varphi; a reta passa pelos pontos.)
(d) G_{\text{estimado}}\approx 38{,}0\\ \mathrm{GPa}, obtido a partir da inclinação K do gráfico por G=(K\,L)/J.
(e) Resultado: modelos e cálculos coerentes com o regime elástico; principais fontes de incerteza são medidas do diâmetro (afeta J\propto d^{4}), medições de ângulo/torque e condições de ensaio.

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