Uma massa de 200 kg é sustentada em parte pelos cabos B D e BE que passam através de um anel sem atrito em B. Determine a intensidade e os ângulos \theta \mathrm{x}, \theta \mathrm{y} e \theta \mathrm{z} que definem a direção da resultante das forças exercidas pelo cabo e o peso em B, sabendo que a tração nos cabos é de 600 N . As forças exercidas na armação ABC são desprezadas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem fornecida).
  • Massa: 200\\ \text{kg}. Logo o peso absoluto vale mg com g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • A tração nos cabos (nos dois ramos que passam pelo anel em B) é 600\\ \text{N} cada.
  • As dimensões mostradas na figura (peguei estes comprimentos da imagem):
    • Distância horizontal ao longo do braço: B para A: 480\\ \text{mm}.
    • Distância horizontal ao longo do braço: B para C: 600\\ \text{mm}.
    • Altura vertical de A até D: 510\\ \text{mm}.
    • Altura vertical de C até E: 400\\ \text{mm}.
    • Distância lateral (planta) do eixo central até D: 280\\ \text{mm}.
    • Distância lateral (planta) do eixo central até E: 210\\ \text{mm}.
Observações importantes sobre a figura (para evitar surpresas):
  • A imagem é tridimensional; para montar vetores escolhi um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal padrão: eixo x para a direita (sentido de B para C), eixo y para cima (vertical), eixo z apontando para fora da página (sentido figurativo).
  • Tomei o ponto B como origem do sistema: (0,0,0).
  • Usei as dimensões da imagem para fixar as coordenadas dos pontos D e E no sistema (x,y,z). Há ambiguidade visual na figura quanto ao sinal de algumas coordenadas (para z por exemplo), então escolhi uma convenção consistente: coloquei D do lado negativo de x e negativo de z, e E do lado positivo de x e positivo de z. Caso a figura fosse espelhada os sinais das componentes horizontais mudariam de sinal e as direções angulares relativas mudariam conforme, mas o procedimento para resolver é o mesmo.
A partir dessa escolha de coordenadas (valores extraídos da imagem) obtive os pontos:
  • B=(0,0,0) (origem).
  • D = (-0{,}480,\; 0{,}510,\; -0{,}280)\\ \text{m}. (peguei 480, 510, 280 mm da imagem e converti para metros)
  • E = (0{,}600,\; 0{,}400,\; 0{,}210)\\ \text{m}. (peguei 600, 400, 210 mm da imagem e converti)
O enunciado pede:
  • A intensidade (módulo) da resultante \mathbf{R} das forças aplicadas em B e os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z que definem a direção dessa resultante em relação aos eixos x,y,z.
  • As forças consideradas aqui são as duas trações nos cabos (cada uma de 600\\ \text{N}, direcionadas de B para D e de B para E) e o peso \mathbf{W} = (0,-mg,0) com m=200\\ \text{kg}.

Passo 2

Transformar dados e calcular o peso.
  • Converter massa em peso: m = 200\\ \text{kg},\qquad g=9{,}81\\ \text{m/s}^2
W = mg = 200\times 9{,}81 = 1962\\ \text{N}.
  • O vetor peso (apontando para baixo, eixo y negativo) é \mathbf{W} = \bigl(0,\,-1962,\;0\bigr)\\ \text{N}.

Passo 3

Montar os vetores posição \overrightarrow{BD} e \overrightarrow{BE} (do ponto B até os pontos D e E) e calcular suas magnitudes.
  • Pela escolha de coordenadas (valores em metros): \overrightarrow{BD}=(-0{,}480,\;0{,}510,\;-0{,}280)\\ \text{m}, \qquad \overrightarrow{BE}=(0{,}600,\;0{,}400,\;0{,}210)\\ \text{m}.
  • Magnitudes: |\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-0{,}480)^2+(0{,}510)^2+(-0{,}280)^2}
\quad =\sqrt{0{,}2304+0{,}2601+0{,}0784}=\sqrt{0{,}5689}=0{,}75427\\ \text{m}.
|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{(0{,}600)^2+(0{,}400)^2+(0{,}210)^2}
\quad =\sqrt{0{,}3600+0{,}1600+0{,}0441}=\sqrt{0{,}5641}=0{,}75107\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular os versores (vetores unitários) nas direções de BD e BE.
  • Fórmula do versor: se \mathbf{r} é um vetor, o versor \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}.
  • Para BD: \hat{\mathbf{u}}_{BD}=\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|} =\biggl(\frac{-0{,}480}{0{,}75427},\;\frac{0{,}510}{0{,}75427},\;\frac{-0{,}280}{0{,}75427}\biggr)
\quad =(-0{,}6361,\;0{,}6762,\;-0{,}3713).
  • Para BE: \hat{\mathbf{u}}_{BE}=\frac{\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BE}|} =\biggl(\frac{0{,}600}{0{,}75107},\;\frac{0{,}400}{0{,}75107},\;\frac{0{,}210}{0{,}75107}\biggr)
\quad =(0{,}7987,\;0{,}5329,\;0{,}2796).

Passo 5

Calcular as forças de tração em B devido aos cabos BD e BE.
  • Cada cabo puxa o anel em B na direção de D ou E com magnitude 600\\ \text{N}. Assim: \mathbf{F}_{BD}=600\;\hat{\mathbf{u}}_{BD}=600(-0{,}6361,\;0{,}6762,\;-0{,}3713)
\quad =(-381{,}66,\;405{,}72,\;-222{,}78)\\ \text{N}.
\mathbf{F}_{BE}=600\;\hat{\mathbf{u}}_{BE}=600(0{,}7987,\;0{,}5329,\;0{,}2796)
\quad =(479{,}24,\;319{,}74,\;167{,}76)\\ \text{N}.

Passo 6

Somar vetorialmente as forças (trações + peso) para obter a resultante \mathbf{R}.
  • Primeiro soma das trações: \mathbf{F}_{\text{cabos}}=\mathbf{F}_{BD}+\mathbf{F}_{BE}
=(-381{,}66+479{,}24,\;405{,}72+319{,}74,\;-222{,}78+167{,}76)
=(97{,}58,\;725{,}46,\;-55{,}02)\\ \text{N}.
  • Somando o peso \mathbf{W}=(0,-1962,0): \mathbf{R}=\mathbf{F}_{\text{cabos}}+\mathbf{W} =(97{,}58,\;725{,}46-1962,\;-55{,}02)
\mathbf{R}=(97{,}58,\;-1236{,}54,\;-55{,}02)\\ \text{N}.

Passo 7

Calcular a intensidade (módulo) da resultante \mathbf{R}.
  • Fórmula do módulo: |\mathbf{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2}.
  • Substituindo: |\mathbf{R}|=\sqrt{(97{,}58)^2+(-1236{,}54)^2+(-55{,}02)^2}
=\sqrt{9511{,}1+1\,528\,146{,}6+3027{,}2}\approx\sqrt{1\,540\,684{,}9}
\approx 1241{,}2\\ \text{N}.

Passo 8

Calcular os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z entre \mathbf{R} e os eixos x,y,z.
  • Definição: o cosseno do ângulo entre \mathbf{R} e um eixo é a componente nesse eixo dividida pelo módulo: \cos\theta_x=\frac{R_x}{|\mathbf{R}|},\quad \cos\theta_y=\frac{R_y}{|\mathbf{R}|},\quad \cos\theta_z=\frac{R_z}{|\mathbf{R}|}.
  • Cálculos numéricos: \cos\theta_x=\frac{97{,}58}{1241{,}2}=0{,}07863\quad\Rightarrow\quad \theta_x=\operatorname{arccos}(0{,}07863)\approx 85{,}5^\circ.
\cos\theta_y=\frac{-1236{,}54}{1241{,}2}=-0{,}9963\quad\Rightarrow\quad \theta_y=\operatorname{arccos}(-0{,}9963)\approx 174{,}6^\circ.
\cos\theta_z=\frac{-55{,}02}{1241{,}2}=-0{,}04434\quad\Rightarrow\quad \theta_z=\operatorname{arccos}(-0{,}04434)\approx 92{,}5^\circ.
Interpretação rápida: \theta_y perto de 175^\circ significa que a resultante tem componente majoritariamente negativa em y (aponta quase para baixo). \theta_x e \theta_z próximos a 90^\circ indicam pequenas componentes horizontais comparadas com o componente vertical.

Resposta

| \mathbf{R} | = 1241{,}2\\ \text{N}
\theta_x = 85{,}5^\circ
\theta_y = 174{,}6^\circ
\theta_z = 92{,}5^\circ

Exercícios relacionados