Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(b) Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tar que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se existe uma única transformação linear que transforma o vetor em e o vetor em . Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que preservam a estrutura linear dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades vão nos ajudar a verificar se a transformação dada pode existir de forma consistente.

Passo 3

Observando os vetores (2,4) = 2 times (1,2) e T(2,4) = T(2 times (1,2)) = 2 times T(1,2) , percebemos que é simplesmente o vetor multiplicado por 2, ou seja:
Isso significa que, se a transformação for linear, então:

Passo 4

Sabemos que 2 times T(1,2) = 2 times (1,1) = (2,2) , então:
Portanto, segundo a propriedade da linearidade, deveria ser igual a .

Passo 5

No entanto, o enunciado nos diz que 2 times T(1,2) = (2,2) neq (2,5) = T(2,4) . Agora temos:
Isso cria uma contradição, pois não é igual a .

Passo 6

Essa contradição nos mostra que não é possível ter uma transformação linear que satisfaça ambas as condições simultaneamente. Ou seja, não existe uma transformação linear que transforma em e em .

Resposta

Não existe uma transformação linear que satisfaça e . A contradição nas propriedades lineares impede essa existência.

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