Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
(b) Existe uma única transformação linear
tar que
e
(b) Existe uma única transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se existe uma única transformação linear
que transforma o vetor
em
e o vetor
em
. Aqui, estamos lidando com transformações lineares, que são funções que preservam a estrutura linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
satisfaz duas propriedades principais:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades vão nos ajudar a verificar se a transformação dada pode existir de forma consistente.
Passo 3
Observando os vetores
e
, percebemos que
é simplesmente o vetor
multiplicado por 2, ou seja:
Isso significa que, se a transformação
for linear, então:
Passo 4
Sabemos que
, então:
Portanto, segundo a propriedade da linearidade,
deveria ser igual a
.
Passo 5
No entanto, o enunciado nos diz que
. Agora temos:
Isso cria uma contradição, pois
não é igual a
.
Passo 6
Essa contradição nos mostra que não é possível ter uma transformação linear que satisfaça ambas as condições simultaneamente. Ou seja, não existe uma transformação linear
que transforma
em
e
em
.
Resposta
Não existe uma transformação linear
que satisfaça
e
. A contradição nas propriedades lineares impede essa existência.