Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
© Existe uma única transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,2)=(1,1) e T(2,4)=(2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se existe uma única transformação linear que transforma o vetor em e o vetor em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear deve obedecer a duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores dados:
Note que é o dobro de , ou seja, .

Passo 4

Pela propriedade de linearidade, se tivermos , que coincide com o que foi dado no exercício. Até aqui, tudo certo!

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa transformação é única. Para isso, precisamos ver se há mais de uma maneira de definir que satisfaça as condições dadas. Sabemos que na transformação linear, o que determinamos o T é como ele age na base do espaço.

Passo 6

Contudo, os vetores e são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). Isso significa que eles não formam uma base para . Assim, temos liberdade para escolher como age em outros vetores que não estão na direção de .

Passo 7

Portanto, podemos escolher diferentes valores para em vetores que não são múltiplos de , e ainda assim cumprir e . Isso implica que há infinitas transformações lineares que satisfazem as condições dadas.

Resposta

Não existe uma única transformação linear que satisfaça e . Há infinitas transformações que atendem a essas condições.

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