Considerando cada uma das afirmações a seguir. Prove as que são verdadeiras e exiba um contra-exemplo para as que são falsas.Se for verdade, justifique.
© Existe uma única transformação linear
tal que
e
© Existe uma única transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se existe uma única transformação linear
que transforma o vetor
em
e o vetor
em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
deve obedecer a duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores dados:
Note que
é o dobro de
, ou seja,
.
Passo 4
Pela propriedade de linearidade, se tivermos
, que coincide com o que foi dado no exercício. Até aqui, tudo certo!
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa transformação é única. Para isso, precisamos ver se há mais de uma maneira de definir
que satisfaça as condições dadas. Sabemos que na transformação linear, o que determinamos o T é como ele age na base do espaço.
Passo 6
Contudo, os vetores
e
são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). Isso significa que eles não formam uma base para
. Assim, temos liberdade para escolher como
age em outros vetores que não estão na direção de
.
Passo 7
Portanto, podemos escolher diferentes valores para
em vetores que não são múltiplos de
, e ainda assim cumprir
e
. Isso implica que há infinitas transformações lineares que satisfazem as condições dadas.
Resposta
Não existe uma única transformação linear
que satisfaça
e
. Há infinitas transformações que atendem a essas condições.