Considerando um circuito RLC Paralelo, calcule os valores da impedância (forma polar), das correntes i, i_{R}, i_{L}, i_{C} para os casos abaixo:
v=j 15 \mathrm{~V} ; R=50 \Omega ; X_{L}=45 \Omega ; X_{C}=40 \Omega

Passo 1

O enunciado fornece a tensão aplicada ao circuito paralelo e os valores das grandezas dos ramos. Ele pede os valores da impedância (em forma polar) e as correntes i, i_{R}, i_{L}, i_{C}. Dados fornecidos:
v=j\,15\\ \text{V},\qquad R=50\\ \Omega,\qquad X_{L}=45\\ \Omega,\qquad X_{C}=40\\ \Omega.
Perguntas explícitas que vamos responder:
  1. Quais as impedâncias (em forma polar) dos ramos e do circuito equivalente?
  2. Quais as correntes i_{R}, i_{L}, i_{C} (em forma polar) em cada ramo?
  3. Qual a corrente total i (em forma polar)?

Passo 2

Primeiro vamos representar os elementos em forma de impedância complexa (forma retangular e polar) e interpretar v=j\,15 como fasor. Conceito rápido: um fasor a\angle\theta representa um número complexo com magnitude a e fase \theta. A tensão dada é
v=j\,15 = 15\angle 90^\circ.
As impedâncias dos ramos são:
Z_R=R,\qquad Z_L=jX_L,\qquad Z_C=-jX_C.
Vamos passar cada uma para a forma polar.

Passo 3

Calculemos as impedâncias em forma polar (mostrar passo a passo):
Z_R=50\\ \Omega = 50\angle 0^\circ.
Z_L=j\,45\\ \Omega = 45\angle 90^\circ.
Z_C=-j\,40\\ \Omega = 40\angle -90^\circ.
Expliquei: para jX a magnitude é |X| e a fase é +90^\circ; para -jX a fase é -90^\circ.

Passo 4

Agora vamos calcular as correntes de cada ramo usando a regra dos fasores: corrente de ramo é i_{\text{ramo}}=v/Z_{\text{ramo}}. Em polar, dividimos magnitudes e subtraímos ângulos:
i_R=\frac{v}{Z_R},\qquad i_L=\frac{v}{Z_L},\qquad i_C=\frac{v}{Z_C}.
Mostrarei cada divisão explicitamente.

Passo 5

Cálculo de i_R:
i_R=\frac{15\angle 90^\circ}{50\angle 0^\circ}=\frac{15}{50}\angle(90^\circ-0^\circ)=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}.
Em forma retangular: i_R=0+j\,0,3\\ \text{A}.

Passo 6

Cálculo de i_L:
i_L=\frac{15\angle 90^\circ}{45\angle 90^\circ}=\frac{15}{45}\angle(90^\circ-90^\circ)=0,3333\angle 0^\circ\\ \text{A}.
Em forma retangular: i_L=0,3333+j\,0\\ \text{A}.

Passo 7

Cálculo de i_C:
i_C=\frac{15\angle 90^\circ}{40\angle -90^\circ}=\frac{15}{40}\angle(90^\circ-(-90^\circ))=0,375\angle 180^\circ\\ \text{A}.
Observação: \,0,375\angle 180^\circ é equivalente a -0,375+ j\,0 em retangular.

Passo 8

Somando as correntes em forma retangular (pois adição de fasores é componente a componente):
Escrevemos cada corrente em retangular:
i_R = 0 + j\,0,3
i_L = 0,3333 + j\,0
i_C = -0,375 + j\,0
Somando:
\Re(i)=0,3333-0,375=-0,0416667
\Im(i)=0,3
Portanto a corrente total em retangular é
i=-0,0416667 + j\,0,3\\ \text{A}.

Passo 9

Agora convertemos i para forma polar. Magnitude e ângulo:
|i|=\sqrt{(-0,0416667)^2+(0,3)^2}=\sqrt{0,0017361+0,09}=\sqrt{0,0917361}\approx 0,3029\\ \text{A}.
Ângulo:
\theta_i=\operatorname{atan2}(0,3,\,-0,0416667)\approx 97,92^\circ.
Logo
i\approx 0,3029\angle 97,92^\circ\\ \text{A}.

Passo 10

Para obter a impedância equivalente do paralelo podemos usar Z_{\text{eq}}=v/i ou somar as admitâncias. Vou fazer os dois para confirmação e ensinar o conceito de admitância. Admitância é Y=1/Z. Para cada ramo:
Y_R=\frac{1}{50}=0,02\\ \text{S}\quad(\text{pura real}),
Y_L=\frac{1}{j45}=-j\,\frac{1}{45}=-j\,0,0222222\\ \text{S},
Y_C=\frac{1}{-j40}=j\,\frac{1}{40}=j\,0,025\\ \text{S}.
Somando:
Y=Y_R+Y_L+Y_C=0,02 + j( -0,0222222+0,025)=0,02 + j\,0,0027778\\ \text{S}.
Módulo e fase de Y:
|Y|=\sqrt{0,02^2+0,0027778^2}\approx 0,020193\\ \text{S},
\angle Y=\operatorname{atan2}(0,0027778,0,02)\approx 7,92^\circ.
Como Z_{\text{eq}}=1/Y, temos
|Z_{\text{eq}}|=\frac{1}{|Y|}\approx \frac{1}{0,020193}\approx 49,54\\ \Omega,
\angle Z_{\text{eq}}=-\angle Y\approx -7,92^\circ.
Confirmação via divisão direta Z_{\text{eq}}=v/i:
Z_{\text{eq}}=\frac{15\angle 90^\circ}{0,3029\angle 97,92^\circ}=49,54\angle(90^\circ-97,92^\circ)=49,54\angle -7,92^\circ,
coincidindo com o resultado por admitância.

Resposta

Z_R=50\angle 0^\circ\\ \Omega
Z_L=45\angle 90^\circ\\ \Omega
Z_C=40\angle -90^\circ\\ \Omega
Z_{\text{eq}}=49,54\angle -7,92^\circ\\ \Omega
i_R=0,3\angle 90^\circ\\ \text{A}
i_L=0,3333\angle 0^\circ\\ \text{A}
i_C=0,375\angle 180^\circ\\ \text{A}
i=0,3029\angle 97,92^\circ\\ \text{A}

Exercícios relacionados